Операторы взаимосвязи спектров в базисах комплексных экспоненциальных функций…
7
Это правило позволяет общее уравнение преобразования спектров
(4) для этого случая представить в виде следующей системы уравнений:
(
)
(
)
1
1
BK
1
1
1
1
BK
0
1
Ф
,
0,1,...,
1;
(
)
(
),
(
)
(
) ,
1, 2,...
1;
1, 2,...,
1;
0,1,...,
1.
n
n
p
n
n
n
i
n
X kp
X kp k
p
X p m jp
Ф p m jp p m ip
X p m ip
m p
n j
p
λ
−
−
Φ
−
−λ−
−λ−
−λ−
=
−λ−
λ
=
=
−
⎡
⎤
⎡
⎤
+ =
+
+ ×
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
⎤
×
+
⎣
⎦
=
− λ =
− =
−
∑
(10)
Данные уравнения носят общий характер по отношению к парамет-
рам
p
и
n
. Из них могут быть получены частные результаты. Так при
значениях
p N
=
и
1
n
=
, когда ВКФ – Пэли переходят в ДЭФ, вы-
полняется только первая система уравнений из (10), которая перехо-
дит в систему тривиальных тождеств
Ф
Ф
( )
( ),
0, 1, ...,
1.
X k X k k
N
=
=
−
Матрица
Ф
в этом случае совпадает с единичной матрицей. При зна-
чении
2
p
=
, когда ВКФ – Пэли становятся функциями Уолша –
Пэли, уравнения (10) приобретают следующий вид:
У
Ф У
Ф
(0)
(0);
( / 2)
( / 2);
X X X N X N
=
=
1
У
2 1
1
1
1
Ф
0
2 (1 2 )
2 (1 2 ), 2 (1 2 )
2 (1 2 ) ,
n
n
n
n
i
X
j
Ф
j
i X
i
λ
−λ−
−
−λ−
−λ−
−λ−
=
⎡
⎤ +
⎣
⎦
⎡
⎤ ⎡
⎤
+
+
+
⎣
⎦ ⎣
⎦
=
=
∑
1, 2, ...,
1;
0, 1, ..., 2 1.
n j
λ
λ =
− =
−
Величины
У
( )
X k
здесь являются спектром Уолша – Пэли.
Правило образования одноименных групп спектральных коэффи-
циентов позволяет и равенство Парсеваля для этого случая записать в
нетрадиционной форме:
(
)
(
)
(
) (
)
1
1
1
ВК
ВК
0
1
1 1
1
1
ВК
ВК
1 1 0
1
1
1
Ф
Ф
0
(
)
(
)
p
n
n
k
p
p n
n
n
m i
p
n
n
k
X kp X kp
X p m ip X p m ip
X kp X kp
λ
−
− ∗
−
=
−
− −
−λ−
∗
−λ−
= λ= =
−
− ∗
−
=
+
⎡
⎤
⎡
⎤
+
+ =
⎣
⎦
⎣
⎦
=
+
+
∑
∑∑ ∑
∑
