Матричный метод преобразования прямоугольных геоцентрических координат…
5
[
]
[
]
1 2
2
2
2
2
2
E E
E
E
E
E
p z
b a
n n n
p z
gp hz
ab a b
k
a b
⎡
⎤
⎡
⎤
=
=
=
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
,
где
g
=
b
/
a
,
h
=
a
/
b
,
k
=
ab
, а вектор
h
имеет координаты
[
]
E G E G
h p p z z
= −
−
.
При этом выражение для обеспечения их коллинеарности (2)
принимает следующий вид:
(
)
(
)
E G
E G
E
E
a p p b z z
k
ab
bp
az
−
−
=
=
=
.
Отсюда вытекает следующее нелинейное относительно
p
E
,
z
E
уравнение:
(
)
(
)
E E G
E E G
hz p p gp z z
− =
−
.
(5)
Аналогично трехмерному случаю необходимо, чтобы точка
E
P
′
принадлежала меридианному эллипсу, т. е. удовлетворяла уравнению
2
2
2
2
1
E E
p z
a b
+ =
.
(6)
Совместное решение двух нелинейных уравнений (5) и (6) явля-
ется решением задачи проецирования точки на меридианный эллипс.
Итерационный алгоритм решения этих уравнений с помощью метода
Ньютона приведен в [6].
Получим решение данных уравнений в замкнутом виде с помо-
щью преобразования их в матричные уравнения квадратичной формы.
2. Решение матричных уравнений.
Запишем уравнения (6) и (5)
в матричном виде:
[
]
2
2
0 0
1 0
0
0
0 0 1 1
E
E E
E
a
p
p z
b
z
−
−
⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥ =
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
− ⎣ ⎦
⎣
⎦
,
(7)
[
]
2 2
2 2
1
1
0
2
2
1
1
1
0
0
2
2
1
1
1
0
2
2
G
E
E E
G E
G
G
a b
b
z
ab
a
p
a b
a
p z
p z
ab
b
b
a
z
p
a
b
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎡ ⎤
⎢
⎥
−
⎢ ⎥
−
=
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
.
(8)
