К.А. Пупков
4
ставлять множество всех полиномов, которые ортогональны множе-
ству
Г .
Пространство, замещенное
Γ
p
, обозначим
Г
.
Это пространство является подпространством
(
)
p
θ Γ ⊆ θ
и назы-
вается
p
-й однородный хаос.
Γ
p
— полиномиальный хаос (ПХ)
p
-
порядка.
Теперь можем записать любой общий второго порядка случай-
ный процесс как
( )
( )
(
)
1
1
1
0
, ,
, ,
( )
r
r
r
p p
p
p n n p p p
Г
≥ +… = …
θ =
ξ θ … ξ θ
∑ ∑ ∑
или как линейную комбинацию всех полиномиальных хаосов поряд-
ка
p
≥ 0.
Полиномы в этом уравнении включают в себя
r
отдельных слу-
чайных переменных на
{
1
( )}
i
i
∞
=
ξ θ
, с
k
-й случайной переменной, со-
держащей многообразие
n
k
, и конечное значение включенных слу-
чайных переменных равно порядку ПХ —
р
.
Если предположить, что ПХ — симметричный, то приведенное
выше уравнение можно упростить, а именно:
( )
( )
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
1
1
1
1 2
1
1 2
1 2
2
1 2, 3
1
2
3
1 2 3
0 0
1
2
1
1 2
3
1 2 3
( ( )
( ))
,
i
i
i
i i
i
i
i
i
i
i
i
i i i
i
i
i
i
i
i
a Г a Г
a a Г
a Г
∞
∞
=
= =
∞
= = =
θ = +
ξ θ +
ξ θ ×
×ξ θ +
ξ θ ξ θ ξ θ +…
∑
∑∑
∑∑∑
где
Г (
•
)
— ПХ
p
-порядка.
Для случая однородного хаоса с гауссовыми переменными
ξ
с
нулевым средним значением и единичной дисперсией эти полиномы
являются полиномами Эрмита, и мы их будем выражать как
Γ
p
=
H
p
(член
(
)
1 2
, , ,
n
i
i
i
ξ = ξ ξ … ξ
).
Эти полиномы имеют вид
(
)
1
1
1
1
( 1)
2
2
, ,
T
n
T
n
n
n
n i
i
i
i
d
H
d d
− ξ ξ −
− ξ ξ
ξ … ξ =
ξ … ξ
Для удобства
X
(
θ
) можно записать следующим образом:
( )
( )
0
ˆ Ψ ,
i i
i
X
a
∞
=
θ =
ξ
∑
