Вероятностная неопределенность в стохастических технических системах …
7
Чтобы теперь проверить, что
φ
1
(
x
) ортогональна к
φ
0
(
x
), рассмот-
рим скалярное произведение
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
1
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
0
i
u x x
x x
x u x
x
x x
x u x
x u x
φ
φ φ = φ
−
×
φ
× φ φ = φ
− φ
=
В общем виде имеем
( )
( ) ( )
( )
( )
1 1
2
0
i
k
k
i
k
u x x
u x
x
x
∞
=
φ
φ = −
φ
φ
∑
.
Пример.
Рассмотрим генерацию множества ортогональных по-
линомов по отношению к весовой функции
( )
(
)
2
2
,
x
w x
x
−
=
∈ −∞ ∞
.
Примем
u
i
(
x
) =
x
i
для
i
= 0, 1, …,
∞
.
Первый полином
( )
( )
0
0
1
x u x
φ = =
,
чтобы найти
( )
1
1
1 1
x
x x
⋅
φ = −
⋅
.
Теперь
2
1 1
2
x
dx
∞
−
−∞
⋅ =
= π
∫
и
2
1
0
x
x
x dx
∞
−
−∞
⋅ =
=
∫
.
Так что
( )
1
0
2
x x
x
φ = − =
π
.
Находим
( )
2
3
2
2
2
1
x
x
x x
x
φ = − −
,
где
2
2
x
= π
и
3
0
x
=
.
Получим
φ
2
(
x
) =
x
2
– 1,
φ
3
(
x
) =
x
3
– 3
x
и т. д.
Это и есть полиномы Эрмита.
