А.В. Горбунов
2
вие (2) является также достаточным условием экспоненциальной
устойчивости для системы (1).
Тем не менее в общем случае теорема Разумихина не дает коли-
чественных оценок для динамики значения
( ( ))
v x t
функции Ляпуно-
ва. Поэтому при использовании ее для нелинейной системы доказа-
тельство свойства экспоненциальной устойчивости уже может быть
существенно затруднено. Отсутствие величины запаздывания
h
в
условии теоремы Разумихина практически исключает возможность
ее применения для оценки «скорости» переходных процессов в си-
стеме (1). В этой связи интерес представляют методы, дающие воз-
можность доказательства экспоненциальной устойчивости и оценки
параметров переходных процессов в системе (1). В частности, в
настоящей работе для этого использован подход, основанный на сле-
дующей лемме [5, 6].
Лемма 1.
Пусть
( ) 0
v t
непрерывна на отрезке
0
[
].
t h T
При
0
[
]
t t T
функция
( )
v t
непрерывно дифференцируемая и удовлетво-
ряет неравенству
( )
( )
( )
t
h
v t
v t
v
где
( ) (
)
t
v
v t
,
[ 0]
h
,
[ 0]
( )
max (
)
t
h
h
v
v t
;
и
— по-
стоянные, удовлетворяющие неравенству
0
. Тогда
0
0
(
)
( )
( )
t t
t
h
v t
v
e
где
0
0
( ) (
)
t
v
v t
;
— единственный положительный корень
уравнения
h
e
Пример использования леммы 1 для оценки степени затухания и
перерегулирования в системе (1) рассматривается в [7].
Основной результат.
Проиллюстрируем предлагаемый подход
на примере доказательства следующего утверждения [1].
Теорема 1.
Пусть существуют
0,
P
0
такие, что выполне-
но матричное неравенство (2). Тогда нулевое решение уравнения (1)
экспоненциально устойчиво.
Покажем вначале, что из справедливости матричного неравенства
т
т
0
A P PA P PB
B P
P
