Моделирование взаимодействия цилиндрических и сферических тел с покрытиями …
3
Рис. 1.
Схема взаимодействия двух цилиндрических тел
Примем, что температура тел
0
T
постоянна и равна температуре
окружающей среды, поэтому ее можно принять за начало отсчета
температур:
0
0
T
. Задача распределения тепла в покрытиях сводит-
ся к решению уравнения теплопроводности, которое в несжимаемой
среде имеет вид
grad div grad
,
T C
T
T f
t
v
(3)
где
T
— температура;
— коэффициент теплопроводности;
f
—
объемная плотность распределенных в нем источников тепла;
C
—
массовая теплоемкость,
— плотность вещества. Поскольку про-
цесс квазистационарный и векторы скорости
v
и градиента темпера-
тур ортогональны, левая часть уравнения (3) равна нулю.
Переходя к цилиндрической системе координат, получаем [12]
1
grad
;
z
T
T
T
T
z
e
e
e
1
1
div grad
.
T
T
T
T
z
z
Здесь
,
— цилиндрические координаты (радиус и угол); ,
e
,
e
z
e
— векторы ортонормированного базиса цилиндрической системы
координат. Второе слагаемое в правой части этих выражений равно
нулю, так как температура не зависит от
угла
.
Поскольку нам нуж-
но найти максимальное значение температуры, которое достигается
при радиусе
, близком к
R
, достаточно рассмотреть цилиндрическое
кольцо:
,
a b
1
2
,
h z h
где размеры ,
a b
близки радиусу
R
. В
пределах этого тонкого кольца можно принять допущение, что тем-
пература не зависит от значения
. Тогда для третьего слоя запишем
уравнение
