УДК 519.217
О. В. П у г а ч ¨е в
О ПРОБЛЕМАХ ФУКУСИМЫ И Р ¨ЕКНЕРА
Рассматриваются проблемы, связанные с замыкаемостью форм
Дирихле. Основной результат данной работы — решение долго сто-
явшей проблемы существования такой замыкаемой градиентной
формы Дирихле на плоскости, что частные формы не являются
замыкаемыми.
E-mail:
opugachev@yandex.ru
Ключевые слова
:
форма Дирихле, диффузионный процесс, мера, замыка-
емость, проблема Р¨екнера.
1.
Диффузионные процессы.
Рассмотрим на пространстве
R
d
диффузионный процесс [1]
Ω
,
{
X
t
}
t
>
0
,
{
F
t
}
t
>
0
,
{
P
x
}
x
2
X
,
(1)
где
{
F
t
}
t
>
0
—
возрастающее семейство
σ
-
алгебр в
Ω
,
такое, что
X
t
измеримы относительно
F
t
;
вероятностная мера
P
x
на
Ω
есть распре-
деление траекторий, стартующих из точки
x
.
Предположим, что про-
цесс (1) имеет на
R
d
вероятностную или неотрицательную локально-
конечную стационарную меру
μ
.
Данный диффузионный процесс по-
рождает полугруппу
{
T
t
}
t
>
0
:
f
7
→
T
t
f
(
x
)
=
Z
f
(
X
t
)
dP
x
на
L
2
(
μ
)
.
Физический смысл ее таков: если в начальный момент части-
цы распределялись с плотностью
f
,
то через время
t
они распределятся
с плотностью
T
t
f
.
Генератором полугруппы называется (неограничен-
ный) неположительный линейный оператор
L
с областью определения
D
,
такой, что
T
t
=
e
tL
для
f
2
D.
С генератором полугруппы ассо-
циирована неотрицательно определенная квадратичная форма
E
на
D
,
заданная соотношением
E
(
f, g
)
=
−
(
f, Lg
)
L
2
(
μ
)
8
f, g
2
D.
В случае,
когда вероятностная мера
μ
на
R
d
задана дифференцируемой (в собо-
левском смысле) плотностью
%
,
существует диффузионный процесс
ξ
t
,
удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению
dξ
t
=
√
2
dw
t
+
r
%
(
ξ
t
)
%
(
ξ
t
)
dt
(2)
и имеющий стационарное распределение
μ
=
%
dx
.
Здесь
w
t
—
стан-
дартный
d
-
мерный винеровский процесс. Генератор
L
переходной по-
лугруппы диффузии (2) имеет вид
Lf
= Δ
f
+
D
r
%
%
,
r
f
E
.
Квадратич-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
29