также удовлетворяющим уравнению (1) дополнительным слагаемым
Δ
T
(
r, θ
)
= (
B/r
2
)
cos
θ
,
где
B
—
подлежащий определению постоян-
ный коэффициент. Таким образом, температурное поле в однородном
материале, удовлетворяющее заданному условию при
r
→ ∞
и урав-
нению (1), описывает функция
T
(
r, θ
)
=
T
∞
(
r, θ
)
+ Δ
T
(
r, θ
)
= (
Gr
+
B/r
2
)
cos
θ.
(2)
Аналогичные зависимости описывают распределения температуры в
шаровом включении
T
1
(
r, θ
)
= (
A
1
r
+
B
1
/
r
2
)
cos
θ
(3)
и в слое материала матрицы
T
2
(
r, θ
)
= (
A
2
r
+
B
2
/
r
2
)
cos
θ.
(4)
В равенства (2). . . (4) входят 5 неизвестных коэффициентов
B
,
A
1
,
B
1
,
A
2
и
B
2
,
которые необходимо найти из граничных условий на
сферических поверхностях с радиусами
R
0
,
R
1
и
R
2
.
При
r
=
R
0
из условия отсутствия теплообмена в полости шарового включения с
учетом равенства (3) получим
∂T
1
∂r
r
=
R
0
= (
A
1
−
2
B
1
/
R
3
0
)
cos
θ
= 0
или
A
1
= 2
B
1
/
R
3
0
.
(5)
При
r
=
R
1
из условия непрерывности плотности теплового потока
следует
λ
2
∂T
2
∂r
r
=
R
1
=
α T
2
(
R
1
,
θ
)
−
T
1
(
R
1
,
θ
)
=
λ
1
∂T
1
∂r
r
=
R
1
.
Отсюда с использованием равенств (3) и (4) находим
A
2
−
2
B
2
/
R
3
1
=
β A
2
−
A
1
+ (
B
2
−
B
1
)
/
R
3
1
= ˉ
λ
(
A
1
−
2
B
1
/
R
3
1
)
,
(6)
где
β
=
αR
1
/
λ
2
)
и
ˉ
λ
=
λ
1
/
λ
2
.
Наконец, при
r
=
R
2
условия идеаль-
ного теплового контакта, соответствующие непрерывности не только
плотности теплового потока, но и распределения температуры, позво-
ляют записать
λ
∂T
∂r
r
=
R
2
=
λ
2
∂T
2
∂r
r
=
R
2
,
T
(
R
2
,
θ
)
=
T
2
(
R
2
,
θ
)
.
После подстановки в эти равенства соотношений (2) и (3) получим
e
λ
(
G
−
2
B/R
3
2
)
=
A
2
−
2
B
2
/
R
3
2
и
G
+
B/R
3
2
=
A
2
+
B
2
/
R
3
2
,
(7)
где
e
λ
=
λ/λ
2
.
86
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012