которое в сферических координатах имеет вид
1
r
2
∂
∂r
r
2
∂T
∂r
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂θ
sin
θ
∂T
∂θ
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
T
∂ϕ
2
= 0
.
(1)
В данном случае благодаря параллельности заданного вектора гради-
ента температурного поля и оси отсчета угловой координаты
θ
рас-
пределение температуры симметрично относительно этой оси и не
зависит от угловой координаты
ϕ
,
т.е.
∂
2
T/∂ϕ
2
≡
0
.
По мере приближения к составной шаровой частице температур-
ное поле в однородном материале претерпевает возмущение, описы-
ваемое также удовлетворяющим уравнению (1) дополнительным сла-
гаемым [3]
Δ
T
(
r, θ
)
= (
B/r
2
)
cos
θ
,
где
B
—
подлежащий определению
постоянный коэффициент, зависящий от параметров этой частицы и
искомого коэффициента теплопроводности
λ
.
Замена составной ша-
ровой частицы равновеликим шаром радиусом
R
2
,
имеющим коэф-
фициент теплопроводности
λ
,
приведет к исчезновению возмущения
температурного поля в окружающем ее однородном материале с тем
же значением
λ
,
что равносильно условию
B
= 0
,
позволяющему уста-
новить связь искомого коэффициента теплопроводности с заданными
параметрами этой частицы.
Для получения зависимости коэффициента
B
от параметров со-
ставной частицы необходимо решить задачу теплового взаимодей-
ствия этой частицы и окружающего ее однородного материала. Темпе-
ратурное поле в однородном материале, удовлетворяющее заданному
условию при
r
→ ∞
и уравнению (1), описывает функция
T
(
r, θ
)
=
T
∞
(
r, θ
)
+ Δ
T
(
r, θ
)
= (
Gr
+
B/r
2
)
cos
θ.
(2)
Аналогичные зависимости описывают распределения температуры в
шаровом включении
T
1
(
r, θ
)
= (
A
1
r
+
B
1
/
r
2
)
cos
θ,
(3)
и в слое материала матрицы
T
2
(
r, θ
)
= (
A
2
r
+
B
2
/
r
2
)
cos
θ.
(4)
В промежуточном слое с зависящим от радиальной координаты
r
коэффициентом теплопроводности
λ
(
r
)
распределение температуры
T
(
r, θ
)
должно удовлетворять дифференциальному уравнению
∂
∂r
λ r
2
∂T
∂r
+
λ
sin
θ
∂
∂θ
sin
θ
∂T
∂θ
= 0
.
(5)
Положим
T
(
r, θ
)
=
f
(
r
)
cos
θ
и после подстановки в уравнение (5)
получим однородное обыкновенное дифференциальное уравнение
(
ОДУ)
f
00
+ (2
/
r
+
λ
0
r/λ
)
f
0
−
(2
/
r
2
)
f
= 0
(6)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
97