Previous Page  4 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 17 Next Page
Page Background

А.Г. Андреев, Г.В. Казаков, В.В. Корянов

4

Инженерный журнал: наука и инновации

# 7·2016

ности отношения

А

следует, что имеет место отношение

zAy

, а из

транзитивности отношения

А

следует, что из выполнения

xAz

и

zAy

вытекает справедливость отношения

хАу

.

Выберем произвольный элемент

.

Y

q M

По определению имеем

yAq

. Из

хАу

и

yAq

следует, что

хАq

, т. е.

.

X

q M

Отсюда

Y

X

M M

. (3)

Выберем теперь произвольный элемент

X

z M

, для которого

выполнено

zАх

. По симметрии отношения

А

имеем

хАz

. Из транзи-

тивности отношения

А

имеем

уАх

и

хАz

, откуда следует справедли-

вость

yAz

. Значит,

.

Y

z M

Следовательно,

X

Y

M M

. (4)

Из условий (3) и (4) следует равенство

,

X Y

M M

что и требова-

лось доказать.

Теперь можно воспользоваться следующей теоремой [9]: если от-

ношение

А

на множестве

М

обладает свойствами рефлексивности,

симметричности и транзитивности, то существует разбиение {

1

M

,

2

M

, …,

n

M

} этого множества такое, что отношение

хАу

выполнено

тогда и только тогда, когда

х

и

у

принадлежат одному и тому же

классу разбиения.

Разбиение множества

М

определяется как система (конечная или

бесконечная) непустых подмножеств множества

М

, обладающая

свойствами:

а) покрытия множества

М

:

1

2

3

... ;

M M M M

   

(5)

б) отделимости множеств

i

M

и

j

M

:

.

   

i

j

M M i j

Пусть при выделении классов объектов из множества

М

исполь-

зуются дихотомические признаки:

1

p

— объект принадлежит подмножеству (классу)

1

M

;

2

p

— объект не принадлежит подмножеству (классу)

1

M

(отно-

сится к подмножеству (классу)

2

M

).

В силу доказанной леммы образованные с помощью этих двух

признаков классы подмножеств

1

M

и

2

M

множества

М

не пересека-

ются

1

2

(

)

M M

  

.