5 / 17
Метод определения факторов риска для автоматизированной системы управления…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 7·2016 5
Множества
1
M
и
2
M
являются покрытием всего множества
М
,
что следует из свойства (5) и сущности признаков классификации:
«объект принадлежит множеству
1
M
или нет».
Исходя из леммы и теоремы о разбиении множества
М
, на кото-
ром определено отношение эквивалентности
А
,
покажем, что корне-
вое дихотомическое дерево порождает полноту, неизбыточность и
непротиворечивость классов классифицируемых объектов. Множе-
ство всех возможных объектов (т. е. множество всех ИФР) обозначим
через
М
.
Те орема.
Корневое дихотомическое дерево признаков класси-
фикации источников возникновения объектов порождает полное, не-
противоречивое и неизбыточное множество классифицируемых объ-
ектов.
До к а з а т е л ь с т в о. Пусть при выделении классов объектов из
М
используются указанные ранее дихотомические признаки:
1
p
и
2
.
p
Тогда в силу (5)
1
2
{
}.
М M M
Допустим, что существует элемент
х
М
, который не принадле-
жит ни одному из двух классов
1
M
или
2
M
множества
М
. Тогда этот
элемент либо не обладает ни признаком
1
p
, ни признаком
2
p
, либо
обладает обоими признаками одновременно.
Если элемент
х
не обладает ни одним из признаков, то имеет ме-
сто противоречие, поскольку признаки
1
p
и
2
p
определяют дихото-
мию и элемент
х
, не обладающий ни одним из признаков, не может
являться элементом множества
М
, т. е.
х
М
.
Допустим теперь, что элемент
х
обладает одновременно двумя
признаками. Поскольку признаки
1
p
и
2
p
дихотомичны, то ни один
объект не может обладать двумя взаимоисключающими признаками
по определению, и в этом случае также имеет место противоречие
(
х
М
).
Таким образом, доказано, что любой элемент
х
М
должен обла-
дать либо признаком
1
p
, либо признаком
2
p
, что определяет свой-
ства полноты
и неизбыточности объектов, входящих в классы объек-
тов
1
M
и
2
M
.
Докажем теперь свойство непротиворечивости. Поскольку любой
элемент из множества
М
может обладать только одним из признаков
1
p
или
2
p
, то элемент
х
, обладающий признаком
1
p
, принадлежит под-
множеству
1
M
(
х
1
M
) и не принадлежит подмножеству
2
M
(
х
2
M
),
а элемент
у
, обладающий признаком
2
p
, принадлежит подмножеству
2
M
(
у
2
M
) и не принадлежит подмножеству
1
M
(
у
1
M
).