Рис. 1.
A
-
устойчивые одностадийные
ABC
-
схемы
Примеры одностадийных
ABC
-
схем.
На рис. 1 приведенные ни-
же примеры представлены кружками с соответствующими номерами.
Пример 1.
При
A
=
−
1
,
B
=
C
= 0
имеем
L
-
устойчивый метод
порядка 1 (линеаризованный неявный метод Эйлера).
Пример 2.
При
A
=
−
1
/
2
,
B
=
C
= 0
получим
A
-
устойчивый
метод порядка 2 (линеаризованное неявное правило средней точки),
для которого в формуле (3)
σ
=
−
1
/
2
.
Пример 3.
При
A
=
−
1
,
B
=
−
C
= 1
/
2
имеем
L
-
устойчивый
метод второго порядка [4]
I
−
hf
y
+
h
2
2
f
2
y
(
y
1
−
y
0
)
=
hf
−
h
2
2
f
y
f.
(5)
При этом в формуле (3)
σ
=
−
1
,
а функция устойчивости имеет вид
R
(
z
)
=
1
1
−
z
+
z
2
/
2
.
Отметим, что
ABC
-
схема (5) эквивалентна одностадийному методу
Розенброка с комплексным коэффициентом [5].
Пример 4.
Выбор
A
=
−
2
/
3
,
B
=
−
C
= 1
/
6
дает
L
-
устойчивый
метод второго порядка
I
−
2
h
3
f
y
+
h
2
6
f
2
y
(
y
1
−
y
0
)
=
hf
−
h
2
6
f
y
f,
принадлежащий к семейству (4) методов, которые аппроксимируют
решения линейных автономных систем с порядком 3, так что в фор-
муле (3)
σ
= 0
;
функция устойчивости этого метода определяется
формулой
R
(
z
)
=
1
+
z/
3
1
−
2
z/
3
+
z
2
/
6
.
Пример 5.
Выбор
A
=
−
1
/
2
,
B
= 1
/
12
,
C
= 0 (
σ
= 0)
приво-
дит к упомянутому в конце теоремы 6
A-
устойчивому методу второго
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
163