функциональной производной
δϕ
(
ρ,
x
,
t
)
δu
j
(
y
,
t
−
0)
=
∂
Ω [u(x
,
t
)
,
ϕ
(
ρ,
x
,
t
)]
∂u
k
δ
kj
δ
(
x
−
y)
.
Статистические свойства случайного поля скорости среды.
В этом разделе иллюстрируется связь между формой автокорреля-
ционной функцией флуктуаций скорости среды и мелкомасштабной
структурой. Рассматривается статистически однородное статистиче-
ски стационарное поле флуктуаций скорости несущей среды. Двухто-
чечная двухвременная корреляция флуктуаций скорости среды имеет
вид [8]
h
u
i
(
x
0
,
t
0
)
u
j
(
x
00
,
t
00
)
i
=
δ
ij
u
2
i
Ψ (x
0
−
x
00
,
t
0
−
t
00
)
,
где
h
u
2
i
i
—
осредненный квадрат флуктуаций скорости несущей фазы,
Ψ(x
,
t
)
—
автокорреляционная функция.
Временн´ой интегральный масштаб для автокорреляционной функ-
ции
Ψ(x
,
t
)
равен
T
E
=
∞
Z
0
Ψ(0
,
s
)
ds
.
Флуктуации скорости жидкости
моделируются дельта-коррелированный во времени случайным про-
цессом
Ψ(x
,
t
)
= 2
T
E
δ
(
t
)
Ψ
◦
(
x)
,
Ψ
◦
(0)
= 1
,
где
δ
(
t
)
—
дельта-функция Дирака.
Спектральное разложение поля флуктуаций скорости имеет вид [8]
u
i
(
x
,
t
)
=
Z
e
i
k
∙
x
dσ
i
(
k
,
t
)
,
(33)
где
i
—
мнимая единица,
k
—
волновой вектор,
dσ
i
(
k
,
t
)
—
элемент
случайной меры в пространстве волновых чисел.
Используя (33), записываем выражение для двухточечной корреля-
ции флуктуаций скорости среды
h
u
i
(
x
0
,
t
)
u
j
(
x
00
,
t
)
i
=
Z Z
e
i
k
0
∙
x
0
+
i
k
00
∙
x
00
h
dσ
i
(
k
0
,
t
)
dσ
j
(
k
00
,
t
)
i
.
(34)
Из условия статистической однородности и стационарности (33)
получаем функциональный вид корреляции в (34)
h
dσ
i
(
k
0
,
t
)
dσ
j
(
k
00
,
t
)
i
=
δ
ij
u
2
i
B
(
k
0
,
t
)
δ
(
k
0
+ k
00
)
d
k
0
d
k
00
.
(35)
Здесь
δ
(
k)
—
трехмерная функция Дирака,
B
(
k
,
t
)
—
спектральная
плотность.
Подставив (35) в выражение (34), получаем спектральное разло-
жение автокорреляционной функции флуктуаций скорости сплошной
среды
Ψ(x
,
t
)
=
Z
d
ke
i
k
∙
x
B
(
k
,
t
)
.
(36)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
55