реализация численного метода. Представлены результаты тестовых
расчетов.
Система нестационарных уравнений идеальной магнитной ги-
дродинамики.
Система нестационарных уравнений идеальной маг-
нитной гидродинамики в безразмерных консервативных переменных
[1]
включает в себя законы сохранения массы, импульса, энергии, а
также уравнение Фарадея для магнитной индукции. В двумерном слу-
чае она имеет вид:
∂~u
∂t
+
∂ ~F
1
∂x
1
+
∂ ~F
2
∂x
2
= 0
,
(1)
где
(
x
1
,
x
2
)
—
пространственная точка,
t
—
время,
~u
= (
ρ, ρv
1
,
ρv
2
,
ρv
3
,
e, B
1
,
B
2
,
B
3
)
T
,
~F
1
=
ρv
1
,
ρv
2
1
+
p
+
B
2
8
π
−
B
2
1
4
π
,
ρv
1
v
2
−
B
1
B
2
4
π
,
ρv
1
v
3
−
B
1
B
3
4
π
,
e
+
p
+
B
2
8
π
v
1
−
B
1
(
B
∙
v
)
4
π
,
0
,
v
1
B
2
−
v
2
B
1
,
v
1
B
3
−
v
3
B
1
T
,
~F
2
=
ρv
2
,
ρv
2
v
1
−
B
2
B
1
4
π
,
ρv
2
2
+
p
+
B
2
8
π
−
B
2
2
4
π
,
ρv
2
v
3
−
B
2
B
3
4
π
,
e
+
p
+
B
2
8
π
v
2
−
B
2
(
B
∙
v
)
4
π
,
v
2
B
1
−
v
1
B
2
,
0
,
v
2
B
3
−
v
3
B
2
T
.
Здесь
ρ
—
плотность газа,
p
—
давление,
e
—
полная энергия едини-
цы объема,
v
= (
v
1
,
v
2
,
v
3
)
T
—
вектор скорости,
B
= (
B
1
,
B
2
,
B
3
)
T
—
вектор магнитной индукции. Из закона Фарадея следует условие без-
дивергентности магнитного поля
div B = 0
.
Будем считать, что плазма
является сильно ионизированным, не поляризованным совершенным
газом с уравнением состояния
p
= (
γ
−
1)
ρε
,
где
γ
—
показатель адиаба-
ты,
ε
—
удельная внутренняя энергия. При этом
e
=
p
γ
−
1
+
ρ
v
2
2
+
B
2
8
π
.
Система (1) с уравнением состояния газа является замкнутой. Мож-
но показать, что эта система является гиперболической [1] и, следова-
тельно, существует разложение
∂ ~F
i
∂~u
=
A
i
=
L
i
Λ
i
R
i
,
i
= 1
,
2
,
(2)
где
L
i
и
R
i
—
ортогональные матрицы, составленные из левых и пра-
вых собственных векторов, а
Λ
i
—
действительная диагональная ма-
трица, составленная из собственных чисел матрицы
A
i
.
Численный метод.
Для решения системы (1), или в индексной
форме записи (здесь и далее принято правило суммирования по по-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
99