Рис. 1. Правила опрокидывания неустойчивой ячейки (показана серым). По-
рог устойчивости в обеих моделях одинаков, но раздача песчинок при опро-
кидывании в модели BTW происходит детерминированным образом, а в мо-
дели Manna — случайным. Правила модели BTW изотропны строго, а модели
Manna — лишь в среднем
Единственное различие в правилах моделей заключается в том,
что в модели BTW каждая соседка опрокинувшейся ячейки получает
ровно одну песчинку, а в модели Manna каждая переданная песчинка
случайно выбирает, в какую из соседних ячеек попасть (рис. 1).
Шаг моделирования начинается с добавления песчинки в случай-
но выбранную ячейку. Если в результате ячейка опрокидывается, то
песчинки, переданные ее соседкам, могут нарушить их устойчивость,
вызывая
лавину
опрокидываний, продолжающуюся до тех пор, пока
все ячейки не обретут устойчивость. После этого шаг повторяется.
Основными характеристиками лавины являются ее
площадь
S
(
чи-
сло ячеек хотя бы раз потерявших устойчивость),
размер
N
(
число
опрокидываний, включая повторные опрокидывания одних и тех же
ячеек) и
периметр
C
(
число ячеек, получивших песчинки, но сохра-
нивших устойчивость, плюс число песчинок, упавших за край). Не-
зависимо от начального состояния системы после многих шагов она
приходит в критическое состояние, где характеристики лавины подчи-
няются распределениям вида (1).
Несмотря на то, что правила моделей BTW и Manna очень похожи и
обладают одинаковыми симметриями, показатели всех распределений
различны. Рис. 2 позволяет сравнить распределения лавин по размеру
и площади. Для модели Manna известны точные значения показателей
α
N
= 3
/
11
и
α
S
= 3
/
8
[4].
И они превосходят соответствующие
показатели для модели BTW, которые, как можно видеть из рис. 3,
одинаковы (предположительно, для этой модели
α
N
=
α
S
= 5
/
24
).
Показатели зависимостей, связывающих между собой разные ха-
рактеристики лавины, тоже различаются. Есть лишь одно исключение,
показанное на рис. 4. Связь периметра лавины с ее площадью, оказы-
вается одной и той же для обеих моделей:
C S
5
/
8
.
(2)
120
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012