Математическую модель переноса тепловой энергии в композите
построим в предположении, что шаровые включения в общем слу-
чае не контактируют между собой, т.е. отделены друг от друга слоем
материала матрицы. Композит считаем состоящим из множества со-
ставных шаровых частиц с наружным радиусом
R
2
,
каждая из которых
включает полый шар с наружным радиусом
R
1
,
окруженный промежу-
точным шаровым слоем толщиной
R
−
R
1
,
и шарового слоя толщиной
R
2
−
R
из материала матрицы. Примем, что такая составная части-
ца является представительным элементом структуры композита и в
тепловом отношении взаимодействует с неограниченным массивом
однородного материала, коэффициент теплопроводности
λ
которого
подлежит определению как эффективная характеристика композита.
Таким образом, модель композита содержит четыре фазы: включе-
ние, промежуточный слой, слой матрицы и неограниченный массив
однородного материала. При этом отношение
R
3
1
/
R
3
2
будем считать
объемной концентрацией
C
V
включений в композите.
Рассмотрим тепловое взаимодействие отдельно взятой составной
частицы и окружающего ее однородного материала, полагая коэф-
фициенты теплопроводности
λ
1
,
λ
и
λ
2
материалов соответственно
полого шара, промежуточного слоя и матрицы заданными. Тепловой
контакт на каждой из сферической поверхности, разделяющей контак-
тирующие фазы, примем идеальным.
Центр полого шара с внутренним радиусом
R
0
поместим в начале
сферической системы координат. Примем, что на большом расстоянии
r R
2
от начала координат задан вектор градиента температурного
поля в однородном материале, направленный по оси сферической си-
стемы координат, от которой происходит отсчет угловой координаты
θ
,
т. е. при
r
→ ∞
установившееся распределение температуры в этом
материале описывает функция
T
∞
(
r, θ
)
=
Gr
cos
θ
,
где
G
—
модуль
вектора градиента. Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа,
которое в сферических координатах имеет вид
1
r
2
∂
∂r
r
2
∂T
∂r
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂θ
sin
θ
∂T
∂θ
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
T
∂ϕ
2
= 0
.
(1)
В данном случае благодаря параллельности заданного вектора гради-
ента температурного поля и оси отсчета угловой координаты
θ
рас-
пределение температуры симметрично относительно этой оси и не
зависит от угловой координаты
ϕ
,
т.е.
∂
2
T/∂ϕ
2
≡
0
.
По мере приближения к составной шаровой частице температур-
ное поле в однородном материале претерпевает возмущение, описыва-
емое также удовлетворяющим уравнению (1) дополнительным слага-
емым [3]
Δ
T
(
r, θ
)
= (
B/r
2
)
cos
θ
,
где
B
—
подлежащий определению
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
181