горизонтальных когомологий де Рама
ˉ
H
n
−
1
(
E
)
уравнения
E
.
Зако-
ны сохранения достаточно широкого класса уравнений однозначно
определяются своими производящими функциями
ψ
,
которые удовле-
творяют уравнению
ˉ
l
F
(
ψ
)
= 0
,
(2)
где
ˉ
l
F
—
оператор, формально сопряженный к оператору универсаль-
ной линеаризации
ˉ
l
F
.
Отметим, что не всякое решение уравнения (2)
является производящей функцией некоторого закона сохранения.
Уравнения (1) и (2) лежат в основе современных вычислительных
алгоритмов поиска локальных симметрий и законов сохранения
1
.
До сих пор довольно распространено мнение, что наличие зако-
нов сохранения является проявлением тех или иных свойств сим-
метрии рассматриваемой системы. По-видимому, его происхождение
можно объяснить тем, что до появления работ А.М. Виноградова по
C
-
спектральной последовательности теорема Нетер была единственным
общим методом нахождения сохраняющихся величин. Это мнение
можно считать справедливым лишь для уравнений, происходящих из
некоторого вариационного принципа (уравнений Эйлера–Лагранжа),
так как теорема Нетер справедлива лишь для таких уравнений. Обрат-
ная теорема Нетер утверждает, что для уравнений Эйлера–Лагранжа
каждому закону сохранения соответствует симметрия. Однако приме-
ры показывают, что для произвольных уравнений это неверно. Напри-
мер, известное уравнение Хохлова–Заболотской имеет конечномерную
алгебру симметрий, тогда как группа законов сохранения этого урав-
нения бесконечномерна. Тем не менее понятия симметрии и закона
сохранения нельзя рассматривать как совершенно независимые, так
как для их нахождения используются взаимно сопряженные уравне-
ния (1) и (2).
Высшие инфинитезимальные симметрии и законы сохранения
являются “локальными” величинами, т.е. зависящими от неизвестных
функций (в физике — “полей”) и их производных сколь угодно вы-
сокого порядка. Однако в рамках “локальной” теории не оказывается
места для тех многих важных понятий и конструкций современной
математической физики, которые требуют привлечения “нелокаль-
ных” величин, т.е. величин типа интегралов от локальных объектов.
Такое развитие теории естественным образом достигается введением
понятия накрытия.
Накрытия.
Мы будем говорить, что задано
накрытие
τ
:
˜
E → E
∞
уравнения
E
,
если заданы некоторое
˜
E
бесконечномерное многообра-
1
Б о ч а р о в А. В., В е р б о в е ц к и й А. М.,
В и н о г р а д о в А. М. и
др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. – М.:
Факториал-Пресс, 2005. – 380 с.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
207