Исключив
u
из системы
 
w
x
=
u
+
1
6
w
2
,
w
t
=
u
xx
+
1
3
wu
x
+
1
3
u
2
+
1
18
w
2
u,
получим, что накрывающим уравнением является бесконечное про-
должение модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза
w
t
=
=
w
xxx
−
1
6
w
2
w
x
.
Связь переменных
u
и
w
,
даваемая уравнением
w
x
=
u
+
1
6
w
2
,
есть
не что иное как преобразование Миуры–Гарднера.
В терминах теории накрытий естественным образом интерпретиру-
ются и другие преобразования дифференциальных уравнений, а так-
же продолженные структуры Уолквиста–Эстабрука, преобразования
Бэклунда и многое другое. Таким образом, теория накрытий пред-
ставляется удобным и корректным языком описания различных нело-
кальных эффектов, возникающих при работе с дифференциальными
уравнениями. Также возможность введения дополнительных перемен-
ных дает основания ожидать появления новых симметрий и законов
сохранения дифференциальных уравнений.
Нелокальные симметрии и законы сохранения.
Пусть
τ
:
˜
E →
→ E
∞
—
накрытие уравнения
E
∞
.
Нелокальной симметрией
уравне-
ния
E
назовем всякую локальную симметрию объекта
˜
E
.
Иначе говоря,
нелокальная симметрия уравнения
E
—
это преобразование (конечное
или инфинитезимальное) объекта
˜
E
,
которое сохраняет распределение
˜
C
на
˜
E
.
В дальнейшем будут рассматриваться только
инфинитезималь-
ные
нелокальные симметрии, поэтому прилагательное “инфинитези-
мальная”, будет опускаться и такие симметрии будем называть просто
нелокальными. Нелокальные симметрии в накрытии
τ
называют так-
же
τ
-
симметриями.
Процедура вычисления нелокальных симметрий может быть осно-
вана на одной из двух теорем, приводимых ниже.
Теорема 1.
Алгебра
Sym
τ
˜
E
нелокальных симметрий в накрытии
τ
изоморфна алгебре Ли таких векторных полей
X
на
˜
E
,
которые
удовлетворяют следующим условиям:
1)
X
—
вертикальное векторное поле, то есть
X
(
τ
(
f
))
= 0
для
любой функции
f
2
C
∞
(
M
n
)
;
2)
[
X,
˜
D
i
]
= 0
,
i
= 1
, . . . ,
n.
Теорема 2.
Пусть накрытие
τ
:
˜
E
=
E
∞
×
R
N
−→ E
∞
уравнения
E
=
{
F
= 0
}
локально задается полями
˜
D
i
= ˉ
D
i
+
N
X
j
=1
X
ij
∂
∂w
j
,
i
= 1
, . . . ,
n, X
ij
2
C
∞
(
˜
E
)
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
209