верхности
S
α
u
,
p
i
(
x)
—
компоненты заданной распределенной нагрузки
p
α
0
(
x) =
(
p
α
1
(
x)
p
α
2
(
x)
)
на поверхности
S
α
p
.
В случае термоупругости вектор начальной деформации имеет вид
ε
0
=
 
α
Δ
T
α
Δ
T
0
 
,
где
Δ
T
—
изменение температуры относительно неде-
формированного состояния,
α
—
коэффициент температурного расши-
рения.
Кроме того, на всех поверхностях
S
βγ
k
контакта тел
A
β
и
A
γ
должны
быть выполнены условия контактного взаимодействия, т. е. условия
сопряжения по перемещениям (кинематическое условие)
u
β
n
(
x)
−
u
γ
n
(
x) =
δ
βγ
n
(
x)
(6)
и по напряжениям (силовое условие)
σ
β
n
(
x) =
−
σ
γ
n
(
x)
6
0
,
(7)
где
u
β
n
и
u
γ
n
—
проекции перемещений граничных точек на внешнюю
нормаль к границе тела
A
β
;
δ
βγ
n
—
начальное расстояние по нормали
между граничными точками;
σ
β
n
и
σ
γ
n
—
составляющие напряжений по
внешней нормали к границе тела
A
β
.
Соотношения (6) и (7) соответ-
ствуют случаю, когда трение не учитывается.
Совокупность соотношений (1)—(7) составляет математическую
формулировку контактной задачи теории упругости. В данной работе
рассматривался лишь случай, когда граница одного тела включает не
более двух контактных поверхностей. Для решения был использован
алгоритм, основанный на альтернирующем методе Шварца
1
.
Основные процедуры альтернирующего метода Шварца
.
Аль-
тернирующий метод Шварца является итерационным методом. Рас-
смотрим его работу в случае двух тел А и В. Для численного решения
контактной задачи используется МКЭ. Пронумеруем узлы контактной
поверхности
S
k
и введем в рассмотрение два вектора —
U
k
и
R
k
,
первый из которых составлен из компонент перемещений
u
и
v
уз-
лов, расположенных на контактной поверхности
S
k
,
а второй — из
компонент
f
и
g
узловых сил тех же узлов.
На
первом шаге
на контактных поверхностях тел A и B соответ-
ственно
S
A
k
и
S
B
k
задают начальные перемещения
u(x)
|
S
A
k
= u
A
0
(
x)
1
С т а н к е в и ч И. В., Я к о в л е в М. Е., С и Т у Х т е т Разработка алго-
ритма контактного взаимодействия на основе альтернирующего метода Шварца //
Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. Спец. выпуск “При-
кладная математика”. — 2011. – С. 134–141.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
221