ний без учета дисперсии;
η
0
—
невозмущенная “плотность”;
β
—
па-
раметр дисперсии; индекс
t
означает дифференцирование по времени.
Линеаризация системы (1) приводит к дисперсионному соотношению
ω
=
c
0
k
−
βk
3
+
O
(
k
5
)
(
ω, k
—
циклическая частота и волновое число).
Уравнения типа (1) можно переписать в более общем виде:
u
t
+ (u
r
)
u =
−r
p
[
η
] ;
η
t
+
r
(
η
u) = 0
,
(2)
где
p
[
η
]
—
функционал давления, который зависит от конкретной по-
становки задачи.
Уравнения (2) допускают существование так называемых простых
волн (волн Римана), бегущих в одном направлении. Все величины,
описывающие простую волну, выражаются через одну из них.
В случае, когда
p
[
η
]
=
b
Pη
(
b
P
—
линейный оператор), вывод эво-
люционного уравнения простой волны существенно упрощается. Си-
стему (2) можно записать в виде
u
t
+ (u
r
)
u =
−
η
−
1
b
C
2
r
η
;
η
t
+
r
(
η
u) = 0
,
(3)
откуда следует определение оператора скорости возмущений
b
C
:
b
C
2
=
η
b
P .
(4)
Если искать решения системы (3) в виде простых волн, для которых
η
=
η
(
u)
,
b
C =
b
C (u)
,
то
b
C (u)
dη
d
u
=
±
η.
(5)
Для волн, распространяющихся в положительном направлении (в
этом случае в правой части выражения (5) выбирают знак “+”) при
подстановке (5) в (3) следует,
u
t
+ u
r
+
b
C (u)
r
u = 0
.
С учетом (4) и (5) можно найти зависимость
b
C (u)
:
d
b
C
d
u
=
d
b
C
dη
dη
d
u
=
d
b
C
dη
1
b
C
!
b
C
dη
d
u
=
b
C
dη
d
u
d
b
C
dη
1
b
C
!
=
=
η
b
C
b
P
2
b
C
=
1
2
)
b
C =
b
C
0
+
1
2
u
,
(6)
где векторный оператор
b
C
0
определяют из (4) при
u = 0
,
т.е. в отсут-
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012