Теорема (сравнения)
1.
Пусть функция
θ
(
x, t
)
2
ˆ
H
(
Ω)
является
суперрешением уравнения (6) с функцией источника
f
1
(
θ
)
,
f
1
(0)
= 0
,
f
1
(
θ
)
2
C
(
R
0
)
,
для которой соблюдается одно из условий:
(
i
)
при
z >
0
справедливо неравенство
f
1
(
z
)
> f
(
z
)
,
причем либо
f
1
(
z
)
2
C
1
(
R
0
)
,
либо существует такая константа
a
0
>
0
,
что при
z
2
[0
,
a
0
]
выполняется неравенство
f
1
(
z
)
6
0
,
т.е. функция источника
непрерывная и неположительная при малых значениях переносимой
величины;
(
ii
)
при
z >
0
выполняется равенство
f
1
(
z
)
=
f
(
z
)
,
причем
f
(
z
1
)
>
f
(
z
2
)
для
z
2
> z
1
,
т.е. функция источника невозрастающая.
Тогда, если
θ
(
x,
0)
>
u
0
(
x
)
,
x
2
R
,
то
θ
(
x, t
)
>
u
(
x, t
)
,
(
x, t
)
2
Ω
.
Представляет интерес обобщение теоремы сравнения для функции
источника более общего вида.
Теорема
(
сравнения
) 2.
Пусть две функции
u
i
(
x, t
)
2
ˆ
H
(
Ω)
,
i
= 1
,
2
,
являются решениями двух задач Коши (1)–(5), отличаю-
щихся начальными условиями
u
i
(
x,
0)
=
u
0
i
(
x
)
,
i
= 1
,
2
;
причем
u
01
(
x
)
>
u
02
(
x
)
,
x
2
R
.
Тогда справедливо соотношение
u
1
(
x, t
)
>
>
u
2
(
x, t
)
при
(
x, t
)
2
Ω
,
если выполнены условия:
I)
f
(
z
)
—
кусочно-монотонная функция;
II) существует такая постоянная
a
0
>
0
,
что при
0
< z < a
0
выпол-
няется неравенство
f
(
z
)
<
0
;
III)
f
(
z
)
2
Lip (
R
0
)
∩
C
m
(
R
0
)
,
m >
0
,
причем существует такая
постоянная
A >
0
,
что
f
1
(
z
)
=
f
(
z
)
+
A
∙
z
m
2
Lip (
R
0
)
.
Пояснение
:
функция
f
(
z
)
2
Lip (
R
0
)
подчиняется условию Липши-
ца, т. е. существует такая константа
L
,
что выполняется неравенство
|
f
(
z
2
)
−
f
(
z
1
)
|
6
L
|
z
2
−
z
1
|
для любых
z
1
,
z
2
2
R
0
.
Доказательство теоремы 2 основано непосредственно на теореме 1
с учетом неравенства Гронуолла – Беллмана (например, см. [9]).
Рассмотрим две вспомогательные задачи Коши, отличающиеся от
сформулированных в теореме 2, соответствующей заменой функции
источника
f
(
u
i
)
на функции
f
λi
(
u
λi
)
=
f
(
u
λi
)
−
λu
λi
,
i
= 1
,
2
,
где
λ
=
const
>
0
и
u
λ
1
(
x, t
)
,
u
λ
2
(
x, t
)
—
решения полученных таким
способом двух задач Коши. Из теоремы 1 следует, что при
(
x, t
)
2
Ω
выполняется неравенство
u
i
(
x, t
)
>
u
λi
(
x, t
)
,
i
= 1
,
2
.
Обозначим
U
1
=
u
1
−
u
λ
1
,
U
2
=
u
2
−
u
λ
2
.
Выберем подмножество
Ω
1
Ω
вида
Ω
1
=
{
(
x, t
)
|
x
2
R
,
0
6
t
6
t
}
,
где
t
=
const
>
0
.
Если на
Ω
1
проинтегрировать два уравнения (1), каждому из которых
соответствует своя функция источника
f
λ
1
и
f
λ
2
,
а затем применить
формулу Грина, то после вычитания получим выражение
98
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012