ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
101
В работе [5] параметрические колебания стержня с подвижной
промежуточной опорой исследованы с помощью системы интеграль-
ных уравнений Фредгольма II рода, которые в нашем случае могут
быть записаны в виде
( )
( )
(
)
(
) ( )
( )
(
)
1
2
2
2
2
2
2
0
1
ˆ
,
,
, ,
,
,
Ω
u
u
G
u
u
d
τ ζ
τ ζ
ζ ξ α
τ ξ
τ ζ
ξ
∗
∗
+
= −
+
+
∫
(
) ( )
(
)
( )
( )
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
ˆ , ,
ˆ
,
, ,
,
G
u
d
G
u
d
ζ ξ α
δ
τ ξ
ξ δ
ζ ξ α
τ ζ
ξ
ξ
∗
∂
′′
+
−
−
∂
∫
∫
( )
(
) ( )
( )
(
)
( )
( )
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
ˆ , ,
1
1
ˆ
,
, ,
,
Ω
Ω
G P
u
d
P G
u
d
ζ ξ α
τ
τ ξ
ξ
τ
ζ ξ α
τ ξ
ξ
ξ
∗
∂
′
−
−
−
∂
∫
∫
( )
(
) ( )
( )
(
)
( )
( )
1
1
2
2
3
2
3
2
2
2
0
0
ˆ , ,
1
1
ˆ
,
, ,
,
;
Ω
Ω
G M
u
d
M G
u
d
ζ ξ α
τ
τ ξ
ξ
τ
ζ ξ α
τ ξ
ξ
ξ
∗
∂
′′
′
−
−
∂
∫
∫
(4)
( )
( )
(
)
(
) ( )
( )
(
)
(
) ( )
(
)
( )
( )
( )
(
) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
1
3
3
3
3
3
2
0
1
1
2
2
2
3
3
2
3
2
0
0
1
1
2
3
3
3
3
2
2
2
0
0
1 2
3
2
2
2
0
1
ˆ
,
,
, ,
,
,
Ω
ˆ , ,
ˆ
,
, ,
,
ˆ , ,
1
1
ˆ
,
, ,
,
Ω
Ω
ˆ , ,
1
'
Ω
u
u
G
u
u
d
G
u d
G
u
d
G P
u
d
P G
u
d
G M
u
β
τ ζ
τ ζ
ζ ξ α
τ ξ
τ ζ
ξ
ζ ξ α
βδ
τ ξ
ξ βδ
ζ ξ α
τ ζ
ξ
ξ
ζ ξ α
τ
τ ξ
ξ
τ
ζ ξ α
τ ξ
ξ
ξ
ζ ξ α
τ
τ
ξ
∗
∗
∗
∗
+
= −
+
+
∂
′
+
−
−
∂
∂
′
−
−
−
∂
∂
−
∂
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( )
( )
(
)
( )
( )
1
3
2
2
0
1
ˆ
,
, ,
,
,
Ω
d
M G
u
d
ξ
ξ
τ
ζ ξ α
τ ξ
ξ
∗
′′
−
∫
где
i
u
—
безразмерные прогибы;
i
u
∗
—
функции, удовлетворяющие
неоднородным граничным условиям на правом торце и в промежу-
точной опоре;
δ
—
параметр, характеризующий отношение величины
прогибов к длине стержня;
β
—
отношение изгибных жесткостей по-
перечного сечения стержня; Ω — безразмерная частота;
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
,
ˆ , ,
,
, ;
,
G
G
G
G
G
ζ α
ζ ξ α
ζ ξ
α ξ
α α
=
−
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
3
3
,
ˆ , ,
,
, ;
,
G
G
G
G
G
ζ α
ζ ξ α
ζ ξ
α ξ
α α
=
−
(
)
(
)
(
)
2
,
,
1 2 ,1 2 ;
G
G
G
α α
α α
γ
=
+
(
)
(
)
(
)
3
,
,
1 2 ,1 2 ;
G
G
G
α α
α α
βγ
=
+
0 1.
γ
< ≤