116
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
центра масс платформы и электродвигателя, причем вертикальная
ось
Oy
совпадает с направлением вектора силы тяжести. Горизон-
тальное смещение платформы описывается координатой
х
,
а угол
ϕ
поворота ротора электродвигателя отсчитываем против хода часовой
стрелки от положительного направления вертикальной оси
Оу
(
см.
рис. 1).
Движущий (вращающий) момент
( )
e
M i
электродвигателя (по-
стоянного тока) зависит от силы тока
i
в обмотке якоря, который
определяется законом Кирхгофа [2, 5].
С учетом сделанных предположений полная система уравнений,
описывающих движение системы и силу тока в цепи обмотки якоря
электродвигателя, может быть представлена в виде
( )
(
)
(
)
2
2
[
cos
sin ];
cos
sin
( )
;
,
e
e
e
e
c
mx bx kx m e
J m e
m e x
g
M i M
di L iR K U
dt
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+ + = −
−
+
+
+
=
−
+ + =
(1)
где
0
e
m m m
= +
—
полная масса системы;
m
0
—
масса платформы с
электродвигателем;
m
e
—
масса ротора;
b
и
k
—
коэффициенты
демпфирования и жесткости упруговязкой опоры;
e
—
расстояние от
оси вращения ротора до его центра масс (эксцентриситет);
J —
цен-
тральный момент инерции ротора;
M
e
= Ki
—
движущий момент
электродвигателя;
K —
постоянная ЭДС двигателя;
U
—
напряжение,
приложенное к обмотке якоря;
L
и
R —
индуктивность и сопротивле-
ние обмотки якоря;
M
c
—
момент сопротивления вращению ротора
двигателя;
g
—
ускорение силы тяжести.
Отметим одну важную особенность системы уравнений (1): ее
решения зависят от напряжения
U
,
подаваемого на электродвигатель,
которое является
управляющим воздействием (параметром)
,
причем
горизонтальные колебания платформы можно рассматривать как
па-
раметрическое возбуждение
колебаний угловой скорости ротора,
считая ее независимой переменной.
В
нерезонансных
областях амплитуды колебаний твердого тела
(
платформы) незначительны и их воздействие на угловую скорость
ротора также мало. В
резонансной
области картина развития колеба-
ний существенно меняется: амплитуды колебаний твердого тела уве-
личиваются, и частота вращения ротора может резко изменится. Это
скачкообразное изменение частоты приводит к скачкообразному из-
менению амплитуды и частоты колебаний самого тела (
эффект
Зоммерфельда
) [6].
Тем самым в системе проявляется
динамическая