ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2012
119
{
}
{
}
T
T
1 2 3 4
3 4
,
,
,
;
,
,
,
,
x x x x
x x P P
ν
ω
=
=
x
f
(7)
уравнения (5) приводим к нормальной форме Коши.
Уравнения (6) и (7) описывают нелинейную (автономную) дина-
мику горизонтальных движений платформы с установленным на ней
вращающимся неуравновешенным ротором, приводимым в движение
электродвигателем с ограниченной мощностью. Мощность электро-
двигателя определяем как
0
0
Γ (
)
u
u
Ν
ω γ
ω ω ω
= = −
,
она достигает
своего максимума
max
0
0
( )( ) 4
u
u u
Ν
γ
ω
=
при частоте вращения
0
2
u
ω
ω
=
.
Таким образом, для описания динамики платформы
необходимо задать семь безразмерных параметров:
0
0
,
,
,
,
,
,
,
c
E
u
ζ
β
γ
γ
ω
(8)
и четыре начальных условия:
(0),
(0),
(0),
(0)
ξ
ϕ
ν
ω
.
(9)
Бифуркационный анализ.
Численное решение строим с помо-
щью метода установления последовательного нагружения [7] по па-
раметру возбуждения — напряжения тока
u
в обмотке якоря при
0,1;
0,5;
E
β
=
=
0, 05;
c
γ
=
0
0
0, 5;
5
γ
ω
=
=
для двух различных
значений параметра демпфирования
ζ
.
На рис. 2 показаны бифуркационные диаграммы последователь-
ных экстремумов положения платформы
Extr [ ]
ξ
и угловой скорости
ротора
Extr [ ]
ω
.
На приведенных рисунках видно, что в диапазонах
значений
0,1900 0,1925
u
< <
и
0,3700 0,3725
u
< <
происходит скач-
кообразное изменение уровня и вида вибраций платформы и угловой
скорости ротора. На участке
0,1900
u
<
вибрации не возбуждаются:
ротор и платформа остаются неподвижными. На участке
0,1925 0,3700
u
< <
отмечается медленный рост средней круговой
частоты вращения ротора от
0,5
ω
≈
до
1
ω
≈
.
При
0, 3725
u
>
ча-
стота вращения ротора растет пропорционально уровню возбужде-
ния.
Анализ 2π-периодических движений.
Для вычисления перио-
дических движений системы за один полный оборот ротора двигате-
ля (при его вращении без остановок) целесообразно от безразмерного
времени
τ
перейти к новой независимой переменной — углу пово-
рота ротора
ϕ
.
Тогда при замене
τ
ϕ
→
(...)
(...) ;
.
d
d d
d
d d d
d
ϕ
ϕ
ω
τ
τ
ϕ
τ
=
=
(10)