142
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012
Напряженное состояние пружины определяется касательными
zx
τ
и
zy
τ
и нормальным
z
σ
напряжениями. Компоненты напряжения
zx
τ
и
zy
τ
находятся в соотношении с полным касательным напряже-
нием
τ
:
cos ;
sin ,
zx
zy
τ
τ
ϕ
τ
τ
ϕ
=
⎧
⎨
=
⎩
(4)
где угол
ϕ
отвечает полярной системе координат, связанной с сече-
нием витка пружины.
Выразим зависимость между напряжениями
σ
и
τ
и интенсив-
ностью напряжений для случая совместного кручения и изгиба:
2
2
3 .
e
σ
σ
τ
= +
(5)
Формулы перехода от интенсивности скорости деформаций пол-
зучести
,
e c
ξ
к линейным скоростям
c
ξ
и
,
c
η
согласно [2], имеют вид
;
3 .
c
c
c
c
e
e
e
e
ξ
ξ
ξ
σ η
τ
σ
σ
=
=
(6)
Условием релаксации является равенство скоростей кручения и
кривизны винтовой оси пружины нулю. Это условие запишем для
деформаций каждой
i-
й,
j-
й точки сечения витка пружины (рис. 3):
,
,
,
0
const,
i j
i j
i j
c
e
ε
ε
ε
+ = =
(7)
где
,
i j
c
ε
—
деформация ползучести, соответствующая номерам
i-
й,
j-
й
области сечения;
,
i j
e
ε
—
упругая деформация, соответствующая но-
мерам
i-
й,
j-
й
области сечения;
,
0
i j
ε
—
начальная деформация, неиз-
меняемая во времени.
Записывая соотношение (7) в дифференциальной форме и ис-
пользуя конечно-разностное представление по времени, получаем
следующие зависимости релаксации:
,
,
,
1
1
,
,
,
1
1
Δ ;
Δ ,
i j
i j
i j
k
k
k
k
i j
i j
i j
k
k
k
k
E t
G t
σ
σ
ξ
τ
τ
η
−
−
−
−
= −
= −
(8)
где Δ
k
t
—
текущий шаг по времени.
Выражения (8) связывают напряжения на следующем и на
предыдущем шагах. Скорости линейной и сдвиговой деформаций
ползучести
,
1
i j
k
ξ
−
и
,
1
i j
k
η
−
вычисляем по напряжениям на предыдущем