ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
45
лей [1—3]. Усложнение модели объекта, в свою очередь, вызывает
необходимость создания новых, более эффективных методов опти-
мизации [4]. Следует отметить, что спектры колебаний содержат су-
щественную информацию об исследуемом объекте. Задачи определе-
ния оптимальных собственных характеристик системы или процесса,
а также использования собственных характеристик для коррекции
моделей и диагностирования систем изложены в работах [5—7]. В
общем случае используют как скалярные, так и векторные критерии
[8, 9].
При этом частными критериями в многокритериальных зада-
чах вычислительной диагностики могут быть, вообще говоря, много-
экстремальные функции [10, 11]. Корректная формулировка рассмат-
риваемых задач предполагает применение методов регуляризации
[12, 13].
Используемый далее подход основан на разработке и приме-
нении математических моделей систем, математических методов
расчета основных динамических характеристик систем, методов тео-
рии обратных задач, глобальной оптимизации, векторной оптимиза-
ции [14—16].
Постановка задач.
Рассмотрим изопараметрическую задачу оп-
тимального распределения материала упругого тела, совершающего
свободные колебания, в постановке, приведенной в работе [17]. Сре-
динная поверхность (плоскость) тела занимает на плоскости
1 2
,
x x
область
Ω
,
которая является открытым ограниченным связным мно-
жеством в пространстве
\
2
.
Непрерывная липшицева граница
∂Ω
области разделена на две части —
1
∂Ω
и
2
,
∂Ω
граничные условия на
которых формулируются независимо. Предполагается, что выделен-
ная область имеет прямоугольную форму:
(
)
(
)
(
)
{
}
2
1 2
1
2
,
0,
,
0,
,
x x
x
a x
b
Ω =
∈ ∈
∈
\
(1)
где
,
a b
—
действительные положительные числа;
(
)
[
]
{
}
2
1
1 2
1
2
2
1
,
0, ;
0,
,
\ .
x x
x
a x
b
∂Ω =
∈ =
∈
∂Ω = Ω Ω
\
(2)
Кроме того, переменной управления (проектирования) является функ-
ция толщины тела
(
)
1 2
,
,
u u x x
=
перемещение тела
(
)
1 2
, ,
y y u x x
=
за-
висит от величины
u
.
Целью является определение такой функции
(
)
1 2
,
,
u u x x
=
при которой основная (низшая) частота свободных коле-
баний упругого тела максимальна, а его объем (масса) не изменяется.
Свободные колебания упругого тела при малых амплитудах опи-
сываются линейной эллиптической задачей на собственные значения:
требуется найти зависящие от величины
u
собственные пары
(
)
, ,
y
λ
удовлетворяющие уравнению
.
u
u
A y B y
λ
=
(3)
Здесь
λ
и
y
—
собственное значение и собственный вектор эллип-
тического оператора соответственно.