92
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
Запишем уравнение поверхности эллипсоида в системе коорди-
нат
1 2 3
Ox x x
следующим образом:
(
)
2
2
2
3
1
2
2
2
2
1
2
3
1.
x c
x x
a a
a
+
+ +
=
(15)
Функции
j
ϕ
будем искать в виде
(
)
1
11 1 12 2 3 13 1 14 2
,
1,
b x b x x b x b x j
ϕ
= +
+ +
=
(
)
2
21 1 22 2 3 23 1 24 2
,
2,
b x b x x b x b x j
ϕ
= +
+ +
=
2
2
3 31
32
33 1 2
1
2
,
3,
b x b x b x x j
ϕ
= + +
=
где
jk
b
—
неизвестные постоянные, определяемые граничными усло-
виями (14). Отметим, что уравнение (13) выполняется при этом тож-
дественно для
j =
1,
2
при любых значениях коэффициентов
jk
b
.
Подставим теперь функции
j
ϕ
в соотношение (14), учитывая выра-
жения (15) для нормалей к поверхности. Найдем из соотношения (14)
однородные многочлены второй и первой степеней относительно ко-
ординат
1 2 3
,
, ,
x x x
с помощью которых получим уравнения для опре-
деления коэффициентов:
2
2 2
2
1
1 2
2
32
33
31
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
,
,
,
a
a a
a
b
b
b
a a
a a
a a
χ
χ
−
=
=
=
+
+
+
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
3 2
3
1
2
3
11
12
* 2 2
*
2 2 4
1 3
1 2 3
2
1
,
,
a a s a a s a s a
s
b
b
a a
a a a
χ
− +
−
= −
=
Δ
Δ
(
)
2 2 2 2
2
1 3
13
14
* 2 2
* 2 4
1 3
1 3
2
2
,
,
s l a a
s
b
c b
c
a a
a a
χ
+
= −
=
Δ
Δ
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
3 1
3
1
2
3
21
22
*
2 2 4
* 2 2
1 2 3
2 3
1
2
,
,
a a s a a s a l
a
s
b
b
a a a
a a
+ −
+
=
= −
Δ
Δ
χ
(
)
2 2 2 2
2
2 3
24
23
* 2 2
* 2 4
2 3
2 3
2
2
,
,
s l a a
s
b
c b
c
a a
a a
χ
+
= −
= −
Δ
Δ
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
3 3 2
1
3 2
*
2
2 2 4
2
2
1 2 3
,
.
a a a s a s a a l
s
a a a
N
λ
λ
+ +
+
Δ =
=
+