106
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
Далее найдем решение уравнения движения оболочки в виде
(
) (
)
4
2
8
4
4
2
4
2 2
2
.
1
1
1
w L
L
w
w
q
t
h
β
μ
ξ
μ
μ ρ
∂
∂
∇ + +
∇ =
∇
−
∂
− ∂
−
(5)
Здесь с помощью величины
q
учитывается неизвестная нагрузка (си-
ла), которая возникает при ударе. Применяя к уравнению (5) инте-
гральное преобразование Лапласа, при нулевых начальных условиях
получаем
(
)
4
8
2 4
4
2
4
2
2
,
1
1
1
w L
L
w
p w
q
h
∂
∇ + +
∇ =
∇
−
∂
−
−
β
μ
ξ
μ
μ ρ
(6)
где
p
—
параметр преобразования Лапласа, черта над функциями
w
и
q
означает, что в уравнения входят изображения функций:
(
)
(
)
0
, ,
, ,
,
pt
q
p e q
t dt
∞
−
=
∫
ξ ϕ
ξ ϕ
(
)
(
)
0
, ,
, ,
.
pt
w p e w t dt
∞
−
=
∫
ξ ϕ
ξ ϕ
Функции
,
w q
разложим в ряд по собственным функциям
(
)
,
, :
n m
W
ξ ϕ
(
)
( )
(
) (
)
,
,
,
,
,
,
, ,
,
,
, ,
( )
( , ).
n m n m
n m n m
n m
n m
w p
C p W
q
p
q p W
ξ ϕ
ξ ϕ
ξ ϕ
ξ ϕ
∞
∞
=
=
∑
∑
Пусть функции
(
)
,
,
n m
W
ξ ϕ
ортогональны, тогда
(
)
(
)
2 /
,
,
,
0 0
1
( )
, ,
,
,
l R
n m
n m
n m
C p
w p W d d
D
=
∫ ∫
π
ξ ϕ
ξ ϕ
ξ ϕ
(
)
(
)
(
)
2 /
,
,
,
0 0
2 /
2
,
,
0 0
1
( )
, ,
,
,
,
.
l R
n m
n m
n m
l R
n m
n m
q p
q
p W d d
D
D
W d d
=
=
∫ ∫
∫ ∫
π
π
ξ ϕ
ξ ϕ
ξ ϕ
ξ ϕ
ξ ϕ
Умножим уравнение (6) на функцию
,
( , )
n m
W
ξ ϕ
и проинтегрируем
его по поверхности оболочки. С учетом того, что функция
,
( , )
n m
W
ξ ϕ
удовлетворяет уравнению
4
,
8
2 4
,
,
,
2
4
2
,
1
1
n m
n m
n m n m
W L
W
W
∂
∇ +
=
∇
−
∂
−
β
ω
μ
ξ
μ