ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
19
сводится к решению краевой задачи и зависит от формы полости и не
зависит от движения тела.
Рассмотрим первую задачу в предположении, что ось вращения
системы в невозмущенном движении является одновременно осью
массовой и геометрической симметрии тела и полости (в этом случае
уравнения значительно упрощаются). Для вязкой жидкости поправ-
ки, обусловленные вязкостью, будем учитывать методом погранич-
ного слоя, полагая, что стенки полости являются гладкими, а движе-
ние осуществляется при больших числах Рейнольдса.
Для решения системы интегродифференциальных уравнений
воспользуемся преобразованием Лапласа и обратным преобразовани-
ем с использованием функции свертки, что в итоге даст аналитиче-
скую зависимость угловой скорости
Ω
возмущенного движения твер-
дого тела от момента внешних сил
М
:
( )
( )
( )
(
)
(1)
(2)
0
Ω ( )
,
t
p t
p t
t
M Xe
Ye
d
τ
τ
τ
τ
−
−
=
+
∫
(1)
где ,
X
,
Y
(1,2)
p
—
постоянные, зависящие только от формы полости
и вязкости жидкости.
Для симметричного тела с идеальной жидкостью в работе [1] по-
лучены условия на его форму, когда величины
(1)
p
и
(2)
p
являются
вещественными, что обеспечивает устойчивость динамической си-
стемы. При этом колебательное движение происходит в направлении,
перпендикулярном основному вращению. Для вязкой жидкости кор-
ни имеют мнимую часть, а условия отрицательности вещественной
части обеспечивают асимптотическую устойчивость движения [3].
Рассмотрим теперь момент внешних сил как управляющее воз-
действие. В терминах теории оптимального управления компоненты
угловой скорости возмущенного движения твердого тела будем ис-
пользовать как фазовые переменные, а внешний момент — как неиз-
вестную функцию управления.
Сведение к системе дифференциальных уравнений.
Покажем,
что соотношение (1) эквивалентно системе линейных дифференци-
альных уравнений. С учетом того, что Ω Ω Ω ,
x
y
i
= −
,
x
y
M M iM
= −
запишем уравнение (1) в виде
( )
( )
( )
( )
( )
1,1
1,2
0
0
Ω
,
,
;
t
t
x
x
y
t
M K t d M K t d
τ
τ
τ
τ
τ
τ
=
+
∫
∫
(2)
( )
( )
( )
( )
( )
2,1
2,2
0
0
Ω
,
,
,
t
t
y
x
y
t
M K t d M K t d
τ
τ
τ
τ
τ
τ
=
+
∫
∫
(3)