26
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
Подставив выражения (2) и (3) в (17), получим следующую опти-
мизационную задачу:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
1
1 1,1
2 2,1
0
2
1 1,2
2 2,2
0
,
,
,
,
max,
T
T
J M c K T c K T d
M c K T c K T d
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
=
+
+
+
+
→
∫
∫
откуда для каждого момента времени
[
]
0
,
t t T
∈
находим оптимальное
управление
( )
( )
( )
,
1,2
*
,
1,2
,
,
0;
,
,
0
i
j
j i
j
i
i
j
j i
j
b
c K T t
M t
a
c K T t
=
=
≥
⎧
⎪
=
⎨
<
⎪
⎩
∑
∑
(19)
и соответствующую ему оптимальную траекторию
( )
( )
( )
2
*
*
,
1 0
,
.
T
i
j
i j
j
z T
M t K T t dt
=
=
∫
Σ
(20)
Все вышесказанное справедливо и для случая
0
0.
z
≠
G
Тогда оп-
тимальное управление не изменится, а выражение (20) примет вид
( )
( )
( )
2
*
*
0
,
1 0
,
.
i
T
i
j
i j
j
z T z
M t K T t dt
=
= +
∫
Σ
(21)
В качестве множества достижимости получаем двумерные фигуры в
координатах Ω
x
—
Ω
y
.
Аналогично можно рассмотреть другие виды ограничений на
управление. Например, для ограничений в виде круга
M r
≤
G
выра-
жение для оптимального управления примет вид
( )
( )
( )
2
,
1
*
2
,
1
,
.
,
j
j i
j
i
j
j i
j
c K T t
M t
r
c K T t
=
=
=
∑
∑
Примеры построенных множеств достижимости для задач с жид-
ким наполнением для случаев вязкой и идеальной жидкостей при
ограничениях вида (18) показывают, что вязкость вносит поправки,
которые сужают множество достижимости. Тем не менее при этом