ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
33
являются непрерывными функциями переменных
1
, ,...,
n
t x x
и вектора
θ
в области
0
;
t t
a
− ≤
0
i
i
x x b
− ≤
,
i =
1, 2, …,
n
,
1
2
,
θ
θ θ
≤ ≤
и в этой же области непрерывны частные производные
,
i
k
f
x
∂
∂
i
,
k =
1, 2, …,
n
,
то решение
0 10 20
0
( )
( , ,
,
,...,
, ),
i
i
n
x t
t t x x
x
ϕ
θ
=
определенное начальными
значениями
0 10 20
0
( ,
,
,...,
)
n
t x x
x
,
является непрерывной функцией век-
тора
θ
параметров при
1
2
.
θ
θ θ
≤ ≤
Теорема 1
.
Если правые части системы дифференциальных урав-
нений
i
dx
dt
=
1
( , , , ),
i
n
f t x x
…
i =
1, 2, …,
n
,
(6)
допускают в области
D
0
;
t t
a
− ≤
0
i
i
x x b
− ≤
,
i =
1, 2, …,
n
,
непре-
рывные частные производные
,
i
k
f
x
∂
∂
i
,
k =
1, 2, …,
n
,
то решение, определенное принадлежащими области
D
начальными
данными
0 10
0
,
,...,
,
n
t x x
0 10
0
( )
( , ,
,...,
)
i
i
n
x t
t t x x
ϕ
=
допускает непрерывные производные по начальным условиям:
0
0
,
,
i
i
k
x x
t
x
∂ ∂
∂ ∂
i
,
k =
1, 2, …,
n.
Замечание
.
Если правые части уравнений (6) кроме переменных
i
x
зависят еще от вектора
θ
,
т. е. имеют вид (5), причем допускают
непрерывные частные производные не только по
1
,...,
n
x x
,
но также
по
θ
для
1
2
,
θ
θ θ
≤ ≤
то решение задачи Коши допускает также част-
ные производные по
θ
,
поскольку является непрерывной функцией
вектора
θ
.
Таким образом, согласно лемме, теореме 1 и замечанию, в
рассматриваемом случае решение задачи Коши есть функция
(
функции) случайных аргументов
10 20
0
,
,...,
, ,
n
x x
x
θ
получающихся в
практических приложениях в процессе наблюдений и измерений