38
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
Теорема 5.
Для того чтобы система была устойчива (или полином
( )
P
λ
был полиномом Гурвица), необходимо и достаточно, чтобы все
главные диагональные миноры матрицы Гурвица:
1 1
Δ ;
a
=
1 0
2
3 2
Δ
;
a a
a a
=
1 0
3 3 2 4
5 4 3
0
Δ
;
a a
a a a
a a a
=
…
,
были положительными (условия Гурвица).
Рассмотрим для примера полином третьей степени со случайны-
ми параметрами
i
a
,
i =
0, 1, 2, 3:
3
2
3
0
1
2
3
( )
,
P a a a a
λ
λ
λ
λ
= + + +
0
a
> 0.
Тогда матрица Гурвица имеет вид
1 0
3 2 1
3
0
0 0
a a
M a a a
a
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
.
Условия Гурвица для данного случая
1 1
Δ
a
=
> 0;
2 1 2 0 3
Δ
a a a a
= −
> 0;
3 3 2
Δ Δ
a
=
> 0.
Чтобы они выполнялись, должно быть
i
a
> 0
,
i =
0, 1, 2, 3,
и
2
a
>
0 3 1
.
a a a
С учетом случайных значений коэффициентов полино-
ма
i
a
условия Гурвица примут следующий вид:
i
a
–
t
β
σ(
i
a
)
> 0
,
i =
0, 1, 2, 3;
2
a
–
t
β
σ(
2
a
)
>
0 3
0 3
1
1
a a
a a m
a
a
σ
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
,
где
( )
i
a
σ
—
среднее квадратическое отклонение коэффициента
i
a
,
i =
0, 1, 2, 3
.
Согласно формуле (7),
( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2
2
2
0 3
3
0
0 3
0
3
1
4
1
1
1
1
a a a
a
a a
a
a
a
a
a
a
a
σ
σ
σ
σ
⎛
⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
=
+
+
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
.
Утверждение 2.
Для того чтобы система линейных однородных
дифференциальных уравнений со случайными параметрами в правой
части была устойчива с заданной доверительной вероятностью
β
(
полином
( )
P
λ
со случайными коэффициентами был полиномом