68
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
Критерий проверки основной гипотезы.
Для проверки гипоте-
зы (2) предлагается использовать статистику вида
(
)
(
)
2
1
2
1
2
Φ 1 Φ
max
.
Γ
i
q
k
i
i
i
k
t
n F F F q
T
=
− +
− −
=
∑
(3)
Здесь
( )
i
F t
—
эмпирическая функция распределения
i
-
й выборки;
1
( ) ;
i
q
k
i i
i
F F t
ρ
=
=
∑
i
i
n n
ρ
=
;
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
1/2
2
2
1
2(1 )
2
4
1
1
Φ
1
1
1 2
;
i
i
i
i
q
q
k
k
k
k
i i
i
i
i
i
i
k F
F
k F
F
ρ
ρ
−
−
=
=
⎡
⎤
⎛
⎞
=
−
+
−
−
⎢
⎥
⎜
⎟
⎝
⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
∑
(
)
(
)
0
0
1
2
1
1
Φ
1
1
;
i
i
q
k
k
i
i
i
k
F
F
ρ
−
=
=
−
−
∑
Γ Φ 1.
F q
= + −
Доказано, что основанный на этой статистике критерий является
состоятельным, получен метод вычисления точных вероятностей ста-
тистики
2
k
T
при справедливости проверяемой гипотезы и найдено
приближенное асимптотическое распределение
2
k
T
[3].
Алгоритм оценивания параметров степенной модели.
Для
оценки неизвестных параметров
i
k
,
2, , ,
i
q
=
…
воспользуемся стати-
стикой
2
.
k
T
В качестве оценки выберем значения ,
i
k
минимизирую-
щие значение
2
k
T
(
минимаксная оценка).
Алгоритм статистического моделирования с целью определения
точности предлагаемого метода оценивания и условий его примене-
ния (минимальный объем выборок, вычисление поправочных коэф-
фициентов, определение интервальных оценок с использованием
нормального приближения) включал в себя следующие шаги:
1)
выбор значений
q
,
1
2
1, ,..., ;
q
k k k
=
2)
моделирование
q
выборок с функциями распределения
i
F
,
1, , ,
i
q
=
…
по
i
n
элементов в каждой,
2
1 2
;
q
k
k
q
F F
F
= = =
…
3)
определение значений
i
k
,
минимизирующих значение
2
;
k
T
4)
расчет оценок
2
, , ,
q
k k
…
согласно п. 2 и 3, 500 раз;
5)
построение гистограммы оценок, вычисление эмпирического
среднего оценки
i
k
и ее дисперсии
2
.
i
S
С помощью данного алгоритма было проведено обширное стати-
стическое моделирование для различных объемов выборок и значе-
ний параметров. В качестве закона распределения элементов в вы-
борках был выбран экспоненциальный вида
1
1
x
F e
λ
−
= −
с парамет-
ром
0, 001,
λ
=
3
2
1 2
3
.
k
k
F F F
= =