72
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
Поэтому мы будем рассматривать не полуплоскость, а угол
2
0
0
{( , )
:
,
0},
A x y
y y k x x k
=
∈ − < − >
R
учитывая, что объединение всех таких углов при различных
k
дает
полуплоскость.
Поскольку для функции
( , )
u x y
,
гармонической в угле
A
,
функ-
ция
(
)
0
0
,
(
,
)
u x y u x x y y
′ ′
′
′
= + +
является гармонической в угле
2
{( , )
:
,
0},
G x y
y k x k
′ ′
′
′
=
∈ <
>
R
а для функции
(
)
,
,
u x y
′ ′
гармони-
ческой в угле
G
,
функция
( )
0
0
,
(
,
)
u x y u x x y y
= − −
будет гармониче-
ской в угле
A
и
(
) (
)
(
)
(
)
0
0
exp
cos
exp(
)
cos ((
)
m
m
m
m
x
y
x x
y y
λ
λ
λ
λ
′
′
−
= − +
+ =
(
) (
)
(
) (
)
0
0
exp
cos
exp
cos
m
m
m
m
x
y
x
y
λ
λ
λ
λ
′
′
= −
−
−
(
) (
)
(
) (
)
0
0
exp
sin
exp
sin
,
m
m
m
m
x
y
x
y
λ
λ
λ
λ
′
′
− −
−
(
) (
)
(
)
(
)
0
0
exp
sin
exp (
)
sin ((
)
m
m
m
m
x
y
x x
y y
λ
λ
λ
λ
′
′
−
= − +
+ =
(
) (
)
(
) (
)
0
0
exp
sin
exp
cos
m
m
m
m
x
y
x
y
λ
λ
λ
λ
′
′
= −
−
+
(
) (
)
(
) (
)
0
0
exp
cos
exp
sin
,
m
m
m
m
x
y
x
y
λ
λ
λ
λ
′
′
+ −
−
(
) (
)
(
)
(
)
0
0
exp
cos
exp (
)
cos ((
)
m
m
m
m
x
y
x x
y y
λ
λ
λ
λ
′
′
−
= − −
− =
(
) (
)
(
) (
)
0
0
exp
cos
exp
cos
m
m
m
m
x
y
x
y
λ
λ
λ
λ
=
−
+
(
) (
)
(
) (
)
0
0
exp
sin
exp
sin
,
m
m
m
m
x
y
x
y
λ
λ
λ
λ
+
−
(
) (
)
(
)
(
)
0
0
exp
sin
exp (
)
sin ((
)
m
m
m
m
x
y
x x
y y
λ
λ
λ
λ
′
′
−
= − −
− =
(
) (
)
(
) (
)
0
0
exp
sin
exp
cos
m
m
m
m
x
y
x
y
λ
λ
λ
λ
= −
−
+
(
) (
)
(
) (
)
0
0
exp
cos
exp
sin
,
m
m
m
m
x
y
x
y
λ
λ
λ
λ
+
−
то достаточно ограничиться рассмотрением угла
G
.
Итак, будем решать следующую задачу. Пусть функция
( , )
u x y
является гармонической в угле
G
и имеет по области
G
конечный
интеграл Дирихле. Найти коэффициенты
1 2
1 2
, , , , , , , ,
n
n
a a a b b b
… …
минимизирующие интеграл Дирихле от гармонической в угле
G
функции
( ) ( )
( )
( )
[
]
1
,
,
,
,
.
n
m m
m m
m
r x y u x y
a p x y b q x y
=
=
−
+
∑