ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
75
2
0,
y
ϕ
∂ ≡
∂
то функции
(
) ( )
2
2
exp
sin
x
y
λ
λ
−
и
(
)
1
1
exp
sin( )
x
y
λ
λ
−
линейно
зависимы, что также неверно. Следовательно,
[ ]
2
0.
G
D
ϕ
≠
Продолжим этот процесс, напоминающий процесс ортогонализа-
ции Грама —Шмидта:
( )
( )
( )
1 1
2 2
1 1
,
,
,
( , )
( , ).
m
m
m m
x y p x y
x y
x y
x y
ϕ
γ ϕ
γ ϕ
γ
ϕ
− −
=
+
+
+…+
Коэффициенты
1
γ
,
2
γ
, … ,
1
m
γ
−
находим из условий
[
]
[
]
[
]
1
2
1
,
,
,
0.
G m
G m
G m m
D
D
D
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
=
=…=
=
Для
l m
<
получаем
[
]
[
]
1 1 2 2
1 1
,
,
G m l
G m
m m l
D
D p
ϕ ϕ
γ ϕ
γ ϕ
γ
ϕ
ϕ
− −
=
+ + +…+
=
[
]
[ ]
,
0.
G m l
l G l
D p
D
ϕ
γ
ϕ
=
+
=
Отсюда
[ , ]
.
[ ]
G m l
l
G l
D p
D
ϕ
γ
ϕ
=−
Аналогично строим новый базис
( ) ( )
( )
1
2
, ,
, , ,
,
n
x y
x y
x y
ψ
ψ
ψ
…
в
линейной оболочке функций
( ) ( )
( )
1
2
, ,
, , ,
, ,
n
q x y q x y q x y
…
такой, что
[
]
, 0,
.
G m l
D
m l
ψ ψ
= ≠
Поскольку
[
]
, 0,
G m l
D p q
=
то
[
]
, 0.
G m l
D
ϕ ψ
=
Теперь рассмотрим задачу, к которой сводится поставленная ра-
нее задача: найти коэффициенты
1 2
, , ,
n
α α
α
…
и
1 2
, , ,
n
β β
β
…
,
мини-
мизирующие интеграл Дирихле от гармонической в угле
G
функции
( ) ( )
( )
( )
[
]
1
,
,
,
,
.
n
m m
m m
m
r x y u x y
x y
x y
α ϕ
β ψ
=
=
−
+
∑
Имеем
[ ]
[ ]
[
]
1
2 (
,
[ ,
])
n
G
G
m G m m G m
m
D r D u
D u
D u
α
ϕ
β
ψ
=
=
−
+
+
∑
[ ]
(
)
2
2
1
[ ] .
n
m G m m G m
m
D
D
α
ϕ
β
ψ
=
+
+
∑
Тогда
[
]
[ ]
[ ] 2 ,
2
0;
G
G m m G m
m
D r
D u
D
ϕ
α
ϕ
α
∂
=−
+
=
∂