ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
85
тогонализации Гильберта —Шмидта с весовой функцией
( ),
i
k
ψ
1, 2.
i
=
Это означает, что
( )
,
i n
g x
—
многочлен степени
n
,
для кото-
рого имеют место следующие соотношения:
( )
( )
,
,
,
0
1
при
;
( )
0
при
;
i n
i m
i
n m
k
n m
g k g k k
n m
ψ
δ
∞
=
=
⎧
= =
⎨
≠
⎩
∑
(2)
( )
,
0
( ) 0,
0,1,...,
1.
n
i m
i
k
k g k k
n
m
ψ
∞
=
= =
−
∑
(3)
В случае, когда маргинальные распределения являются пуассо-
новскими, ортогональные многочлены носят название многочленов
Пуассона —Шарлье [1]. При биномиальном распределении система
содержит многочлены степени не выше
n
и называется системой
Кравчука, а при отрицательном биномиальном распределении у си-
стемы названия пока нет, но в ряде работ получены формулы для вы-
числения коэффициентов ортогональных многочленов через пара-
метры распределения [2—5].
Будем считать, что совместная плотность
1
2
( , )
(
,
)
k l
k
l
ψ
Ρ ξ
ξ
= = =
допускает билинейное разложение по системе ортогональных много-
членов, если
( )
( ) ( )
( )
( )
1
2
1,
2,
1
,
1
,
r
r
r
r
k l
k l
g k g l
ψ
ψ
ψ
μ
∞
=
⎡
⎤
=
+
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
(4)
где
r
μ
—
некоторая последовательность коэффициентов.
Из равенства (2) непосредственно следует, что
2
0
( , )
( );
k
k l
l
ψ
ψ
∞
=
=
∑
1
0
( , )
( ).
l
k l
k
ψ
ψ
∞
=
=
∑
Таким образом, для того чтобы функция
( )
, ,
k l
ψ
заданная соот-
ношением (4), представляла двумерную плотность с маргинальными
плотностями ( ),
i
k
ψ
необходимо и достаточно, чтобы она принимала
неотрицательные значения, т. е.
( )
,
0,
,
0,1,...
k l
k l
ψ
≥
=
(5)
Для ряда распределений (нормальное, гамма-, пуассоновское) до-
казано [1, 6, 7], что для выполнения условия (5) необходимо и доста-
точно, чтобы последовательность
r
μ
была решением проблемы мо-
ментов, т. е.
( )
b
r
r
a
t d t
μ
μ
=
∫
для некоторого отрезка
[ , ]
a b
и некоторой