Стр. 4 - В.И. Тимонин, Л.М. Будовская - Оценка вероятности нехватки средств у фонда компенсационных выплат по агрегированным данным за фиксированный промежуток времени

96 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
2
2 2
0
exp exp ( ) i
i
y y y d M θ θ δ
θ θ θ θ
∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − − − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫
( )2 2 2 2
exp Γ(3) exp 2 exp 1 , i i i
i M θ θ θ
θ δ θ
θ θ θ
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − − = − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (2)
где 1
0
Γ( ) x t
x t e dt
∞
− −
= ∫ — гамма функция.
Б. Если
2
2
1 ( )
( ) exp ,
2 2
x a
f x
σ π σ
⎛ ⎞ −
= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⋅
то
2 ( ) 1 Φ ; i i
i i
a a
M a θ θ
η θ σ ϕ
σ σ
− − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − − +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
(3)
2 2 ( ) 1 Φ ( ) i i
i i i
a a
D a a θ θ
η θ σ σ ϕ θ
σ σ
− − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎡ ⎤ = − + − + − −
⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
2
2 2 2
( ) 1 Φ i i
i
a a
a θ θ
θ σ ϕ
σ σ
− − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − − − −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
2( ) 1 Φ , i i
i
a a
a θ θ
θ σ ϕ
σ σ
− − ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
(4)
где
2
1
Φ( ) exp
2 2
x u
x du
π −∞
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ∫ — функция распределения стандарт-
ной нормальной случайной величины;
2 1 ( )exp 2 2
x
x ϕ
π
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠ —
плотность стандартного нормального распределения.
Утверждение легко доказывается прямым интегрированием
плотности по соответствующей области значений .
i η
Учитывая выражения (1), (2), получаем, что среднее и дисперсия
выплат ФКВ компаниям из i -го объединения страховщиков в случае
экспоненциального закона распределения выплат будут соответ-
ственно
0
агро
=1
Π
= CC exp ;
i i j
i i i j i
i j
MU k
ν
μ
μ
⎛ ⎞
− ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
0 0
2 агро 2
1
Π Π
(CC ) exp 2 2 exp 1 . i i j i j
i i i j i i
j i i
DU k k
ν
μ
μ μ
=
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
∑