ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
17
При
1
j
 
 
вид преобразований ( )
j
V
зависит от величины
:
при
j
  
 
описываются выражением (7), а при
1
j
 
преобразования
cos
sin
sin
( )
cos
j
j
j
j
j
j
j
r
V
r
где
2
2
j
j
j
t
 
,
а
2
2
2
2
j
j
r
.
В любом случае преобразования
( )
j
V
можно представить как
последовательное сжатие-растяжение к координатным осям и обыч-
ный либо гиперболический поворот:
1
1 0
1 0
1
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
0
j
j
j
j
j
j
j
V R U R
U
r
r
где
ch sh
( )
sh ch
j
j
j
j
j
U
при
j
  
 
и
cos
sin
( )
sin cos
j
j
j
j
j
U
при
1
j
 
.
В точке
j
семейство преобразований ( )
j
V
непрерывно, так как
односторонние пределы совпадают:
2
2
1
0
(
0)
(
0)
1
j
j
j
j
j
j
V
V
t
   
Согласно лемме 2, преобразование
( )
j
V
не изменяет направления
вектора
( )
j
a
.
Преобразование
( )
j
R
при любом значении
также
не изменяет направления этого вектора. Поворот вектора
( ) ( )
j
j
V
a
суммируется из поворота вектора
( ) ( )
j
j
U
a
и добавочного поворо-
та, происходящего под действием растяжения-сжатия
1
( )
j
R
на век-
тор
( ) ( )
j
j
U
a
.
Отметим, что вектор
( ) ( )
j
j
U
a
образует с осью
Ox
положительный острый угол. При уменьшении параметра
до
j
этот угол уменьшается до нуля. А при дальнейшем уменьшении
параметра, когда преобразования семейства
( ) ( )
j
j
U
a
становятся
обычными поворотами, он снова растет. Однако вследствие растяже-