ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
12
вектор-функции ( )
j
a
.
Достаточным условием монотонности поворо-
та вектора ( )
j
a
по ходу часовой стрелки при возрастании величины
является отрицательность выражения
.
j j
j j
a b a b

Для вектор-
функции
2
( )
a
это условие выполнено. Допустим, что оно выполня-
ется для вектор-функции
( )
j
a
.
Тогда его справедливость для вектор-
функции
1
( )
( ) ( )
j
j
j
V
a
a
вытекает из следующей теоремы.
Теорема 2.
Пусть
( ) ( , ),
x y
a
а
( )
( ) ( , ),
j
V
X Y
A
a
2
1,
j m
  
тогда если ненулевой вектор
а
постоянен либо повора-
чивается по ходу часовой стрелки при возрастании величины
от 1
до
,
то вектор
А
монотонно поворачивается по ходу часовой стрел-
ки при возрастании
от 1 до
.
Достаточно доказать неравенство
0
XY X Y
  
.
Рассмотрим два
возможных случая.
Случай 1:
0
j
  
  
.
В этом случае, упрощая обозначения:
j
,
2
2
j
q q
  
,
j
j j
q t
qt
  
,
имеем
2
2
2
2
sh
ch
sh ch
q
X x
y
Y x
y
q
 
 
Запишем выражение
XY X Y
 
:
XY X Y xy x y W
    
где величина
W
не содержит производных
x
и
y
.
Поскольку
xy x y

отрицательно в случае поворота вектора
а
по ходу часовой
стрелки, остается установить отрицательность
W
.
Это выражение
достаточно громоздко: его знаменатель
3
2
2
2
2
2
[(
)(
)] 0
 
 
,
а
числитель представляет собой квадратичную форму
2
2
2
ux vxy wy
 
относительно переменных
х
,
у
с коэффициентами
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
sh 2
(
)[ (
)
(
)] 0
2
sh 2
(
)[ (
)
(
)] 0
2
(
)
sh
u
w
v
t
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  
 
  
 