ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
42
В случае малых упругопластических деформаций, согласно тео-
рии пластичности Ильюшина, функции
 
ij
kl
в задаче (1) для во-
локон и матрицы имеют вид
( ) ,
ij
ijkl
mn kl
C
2
( )
1
1
(
),
3
ijkl
mn
u
kl ij
u ik jl
il jk
C
G
K
G
 
 
 
 
 
где
G
—
модуль сдвига;
K
—
модуль объемного сжатия;
( )
u u
 
—
функция пластичности Ильюшина, зависящая от второго инвариан-
та — интенсивности тензора деформаций
2
1
3
u
ij ij
 
 
 
(
ij ij
 
—
первый инвариант тензора деформаций, а
( )
ijkl
mn
C
—
тензор модулей упругости, зависящий от тензора деформаций).
Теперь пусть композиционный материал обладает периодической
структурой (см. рис. 1), у которого ячейка периодичности (ЯП)
V
состоит из
N
компонентов
,
1, ..., .
V
N

Введем малый параметр
/
1
l L
как отношение характерного размера ЯП к характерному
размеру всего композита, а также глобальные
k
x
и локальные
k
ко-
ординаты. Будем полагать, что матрица является связной областью.
Обозначим также
N
N
V

   
—
поверхности раздела матрицы и
волокон в ЯП.
В этом случае для такой структуры можно применить метод
асимптотического усреднения [8—10, 16], согласно которому реше-
ние задачи (1) строят в виде асимптотических по степеням малого
параметра
разложений вида
(0)
(1)
( )
( , ) ...,
k
k l
i
i
i
u u x
u x
(0)
(1)
( , )
( , ) ...,
k l
k l
ij
ij
ij
x
x

(2)
(0)
(1)
( , )
( , ) ...,
k l
k l
ij
ij
ij
x
x

причем по аргументу
l
эти функции полагаются периодическими.
Деформации и напряжения так называемого нулевого уровня имеют
следующий вид:
(0)
(1)
(1)
/
/
1
,
2
ij
ij
i j
j i
u u
 
(3)