ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
133
 
 
2
2
2
2
+ 2
.
z
z
u
u
z
t
Выполним замену, соответствующую преобразованию координат:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
cos
sin ,
sin
cos ,
x
y
x
y
u u
u
u
u
u
 
(5)
и положим
( )
0.
u
(6)
Последнее предположение (6) означает, что из рассмотрения ис-
ключаются решения антиплоской задачи. Подобное упрощение часто
является оправданным, например, в случае исследования поля волны
Рэлея, так как антиплоские движения не соответствуют распростра-
нению поверхностной волны.
Преобразуя уравнения движения (4), получаем
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
2
.
z
z
z
z
u
u
u
u
z
z
t
u
u
u
u
z
z
t
 
 
 
 
 
 
(7)
Уравнения (7) в образах преобразования Радона формально соот-
ветствуют уравнениям движения плоской задачи теории упругости.
Следовательно, можно ввести аналоги упругих потенциалов в обра-
зах Радона:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
.
z
u
u
z
z
(8)
Теперь покажем, как меняются граничные условия в терминах
напряжений в рамках предлагаемого подхода. Зададим граничные
условия на поверхности
z =
0
в виде
, , ,
, , ,
, , .
zz
xz
x
yz
y
P x y t
Q x y t
Q x y t
(9)
В силу линейности задачи граничные условия (9) распадаются на
два типа: для нормальной
0
x
y
Q Q
 
и плоской
0
P
нагрузки со-
ответственно. В случае нормальной нагрузки граничные условия,
преобразованные по Радону, принимают вид