УДК 517.3
Формулы векторного анализа
в бесконечномерных пространствах
c
○
О.В. Пугач¨eв
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В работе получены классические формулы теории поля для случая поверхностей,
«гладких» в обобщенном смысле: формула Остроградского — Гаусса, первая
формула Грина. При этом используются соболевские классы функций и связанные
с ними емкости. Эти результаты являются новыми как в бесконечномерных, так
и в конечномерных пространствах.
Ключевые слова
:
бесконечномерное пространство, емкость, поверхностная
мера.
В работах Е.И. Ефимовой и A.B. Угланова [1, 2] некоторые класси-
ческие формулы, связывающие поверхностные интегралы с объемны-
ми, обобщены на бесконечномерный случай c помощью конструкции
поверхностной меры, предложенной A.B. Скороходом [3] и Углано-
вым. В настоящей работе подобные результаты получены с помощью
конструкции поверхностной меры, описанной в [4], обобщающей под-
ход П. Маллявэна [5] для негауссовского случая, при минимальных
требованиях гладкости функции, задающей поверхность.
Пусть — банахово или локально выпуклое пространство; в него
непрерывно вложено сепарабельное гильбертово пространство .
Скалярное произведение в пространстве обозначим символом
⟨ ·
;
· ⟩
. Обозначим через
ℋ
1
класс операторов Гильберта — Шмидта
из в ; норма Гильберта — Шмидта определяется формулой
‖ ‖
2
ℋ
1
=
∞
∑︁
=1
‖ ‖
2
,
где
{ }
— ортонормированный базис в пространстве . По индук-
ции определяются классы операторов Гильберта — Шмидта
ℋ
из
в
ℋ
−
1
,
= 2
,
3
, . . .
, при этом нормы
‖ ‖
2
ℋ
(
,
)
=
∞
∑︁
1
=1
. . .
∞
∑︁
=1
‖
(
1
, . . . ,
)
‖
2
и не зависят от выбора базиса в пространстве . При
= 0
есте-
ственно считать
ℋ
0
=
.
1
