К.Ю. Федоровский
границей, равенство (3) можно рассматривать как равенство угловых
граничных значений почти всюду относительно длины на
W
. При
= 1
возникает понятие обычной неванлинновской области, введен-
ное в работах [7] (определение 3) и [5] (определение 2.1), которое
оказалось исключительно полезным при изучении задач равномерной
аппроксимации функций полианалитическими многочленами. Изуче-
нию свойств неванлинновских областей посвящены работы [2] и [8],
в которых, в частности, можно найти ряд интересных нетривиаль-
ных примеров неванлинновских областей. Отметим также, что всякая
неванлинновская область будет и -неванлинновской для любого це-
лого числа
>
1
.
Приведем несколько простых примеров -неванлинновских обла-
стей в классе жордановых областей с аналитическими границами. Так,
круг
D
является неванлинновской областью, а область
,
, ограни-
ченная эллипсом
2
/
2
+
2
/
2
= 1
при
> >
0
, — нет. Более того,
область
,
не будет -неванлинновской ни при каком целом
>
1
.
В то же время область
′
,
, ограниченная образом этого эллипса при
инверсии с центром в начале координат, будет неванлинновской обла-
стью.
Для любого целого числа
>
1
нетрудно привести пример обла-
сти, которая является -неванлинновской, но не неванлинновской. Для
этого достаточно рассмотреть образ единичного круга
D
при отобра-
жении
( ) =
√ −
, где
| |
>
1
, конформном в
D
. В самом деле,
всюду на границе области
(
D
)
выполняется равенство
=
√︂
| |
2
− −
1
−
,
а функция, стоящая в правой части последнего равенства имеет точки
ветвления в области
(
D
)
. Остается заметить, что совпадает на
границе области
(
D
)
с отношением двух многочленов.
Отметим также, что в соответствии с предложением 1 ограничен-
ная односвязная область
W
является -неванлинновской областью ес-
ли и только если функция
3
, где
3
— это конформное отображение
круга
D
на
W
, допускает псевдопродолжение неванлинновского типа.
Теперь пусть
m
— некоторая конечная комплекснозначная борелевская
мера в
C
, а
(
m
)
при
∈
[1
,
∞
]
— пространство Лебега суммиру-
емых функций, рассматриваемое относительно меры
m
. При целых
числах
1
, . . . ,
,
1
6
1
< . . . <
, пусть
(
m
;
1
, . . . ,
)
—
замыкание в
(
m
)
полиномиального модуля
+
z
1
+
. . .
+
z
,
a
∞
(
m
;
1
, . . . ,
)
—
*
-слабое замыкание этого же модуля в
∞
(
m
)
.
Кроме того, пусть
W
— жорданова область в
C
, а
3
— некоторое кон-
формное отображение единичного круга
D
на
W
. Из классической тео-
ремы Каратеодори о продолжении вытекает, что
3
продолжается до
8
