Эффективный коэффициент теплопроводности композита при неидеальном. . .
Для функционала (15) в качестве допустимого распределения век-
тора плотности теплового потока примем постоянное значение
=
−
l
*
b b
единственной составляющей этого вектора, перпендику-
лярной основаниям цилиндра. В этом случае
D
к
(
j
) =
−
(
/
a
) cos
j
= (
l
b
/
a
)
b
cos
j
.
Таким образом, функционал (15) примет вид
[ ] =
−
(
l
b
)
2
2
(︁
0
−
2
p
3
/
3
l
b
+ 2
p
3
−
3
3
l
+
+ 2
p
3
3
L
b
+ 2
p
3
3
l
Bi
)︁
+
l
2
0
.
(19)
Принятые допустимые распределения температуры и плотности
теплового потока для неоднородной области отличаются от действи-
тельных и поэтому значения
[ ]
и
[ ]
не будут совпадать, причем
[ ]
>
[ ]
[11]. В промежутке между этими значениями должно
быть расположено и значение
0
= (
l
*
b
/
2)
2
b
0
минимизируемо-
го функционала (14) для однородной области с оцениваемым значе-
нием
l
*
b
эффективного коэффициента теплопроводности. Тогда при
(
/
)
3
=
с учетом формулы (18) из условия
[ ]
>
0
полу-
чим
̃︀
l
b
6
1
−
+ ¯
L
b
Bi
Bi + ¯
L
b
(Bi + ¯
L
b
)
2
=
̃︀
l
+
,
(20)
а при использовании формулы (19) из условия
1
[ ]
≤
0
найдем
̃︀
l
b
>
1
1
−
+
/
Bi +
/
¯
L
b
=
̃︀
l
−
.
(21)
Результаты расчетов.
На рис. 1 для случая
Bi = 1
при различных
значениях
¯
L
b
приведены зависимости от объемной концентрации
верхней
̃︀
l
+
и нижней
̃︀
l
−
оценок отношения
̃︀
l
b
=
l
*
b
/
l
. Из этого ри-
сунка следует, что разность
̃︀
l
+
−
̃︀
l
−
уменьшается по мере увеличения
значения
¯
L
b
. При
¯
L
b
= 10
и
¯
L
b
= 100
кривые для значения
̃︀
l
−
прак-
тически совпадают с кривыми для значения
̃︀
l
b
и для
̃︀
l
+
, поскольку
различие в значениях
̃︀
l
−
,
̃︀
l
b
и
̃︀
l
+
очень мало. Например, для
= 0
,
5
при
¯
L
b
= 10
значения
̃︀
l
−
= 0
,
9524
,
̃︀
l
b
= 0
,
9538
и
̃︀
l
+
= 0
,
9545
, а при
¯
L
b
= 100
значения
̃︀
l
−
= 0
,
995025
,
̃︀
l
b
= 0
,
995041
и
̃︀
l
+
= 0
,
995050
.
C увеличением числа
Bi
тепловой контакт между включениями
и матрицей улучшается. Поэтому при прочих равных условиях зна-
чения
̃︀
l
b
,
̃︀
l
−
и
̃︀
l
+
возрастают. На рис. 2 представлены зависимости,
аналогичные приведенным на рис. 1, но при
Bi = 10
. Следует отме-
тить, что оценки
̃︀
l
−
и
̃︀
l
+
и правая часть формулы (12) не изменяют
своих значений при перестановке значений
Bi
и
¯
L
b
. Например, зави-
7
