ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
56
Агрегирование, нечеткие меры и интеграл Шоке.
В соответ-
ствии с работой [5] «агрегирование числовых критериев есть метод
их объединения в один числовой критерий (результат агрегирования)
для выражения совокупного действия этих критериев». Агрегирова-
ние применяется в нечетком выводе и распознавании, задачах много-
критериального принятия решений. Оператором агрегирования часто
называют обладающую некоторыми заданными свойствами функцию
от
H
переменных (критериев), каждая из которых определена на
единичном интервале. Областью значений этой функции также явля-
ется единичный интервал. Нечеткая мера выражает субъективный вес
или значимость каждого подмножества критериев и определяется
следующим образом [4]:
Нечеткая (дискретная) мера – функция
,
где
–
множество всех подмножеств множества индексов критериев
,
которая удовлетворяет следующим условиям:
1)
;
2)
.
Введем следующие упрощения:
1)
будем опускать фигурные скобки, вместо
{ }, { , }
i
i j
записывая
,
i ij
соответственно;
2)
вместо обозначения «критерий с индексом
i J
∈
»
в дальней-
шем для краткости будем употреблять «критерий
i
»;
3)
вместо обозначения «множество индексов критериев
J
»
будем
употреблять «множество критериев
J
».
Рассмотрим основные понятия, используемые в теории нечетких
мер. Шепли [6] предложил определение коэффициента важности
критерия, основанное на нескольких естественных аксиомах. В кон-
тексте теории нечетких мер индекс Шепли для критерия
i J
∈
по от-
ношению к мере
ψ
определяется выражением
(
)
(
)
( )
( )
1 ! !
( ) :
.
!
Sh
D J i
J D D
i
D i
D
J
ψ
ψ
⊆ −
− −
Φ =
∪ −
⎡
⎤
⎣
⎦
∑
(1)
Для выражения знака и степени взаимодействия между крите-
риями Мурофуши и Сонеда [7] предложили индекс взаимодей-
ствия (зависимости) критериев
i
и
j
,
который определяется вы-
ражением
(
)
(
)
[
]
( { , })
2 ! !
( , ) :
1 !
(
)
(
)
(
)
( ) .
D J i j
J D D
I i j
J
D ij
D i
D j
D
ψ
ψ
ψ
ψ
⊆ −
− −
=
×
−
× ∪ − ∪ − ∪ +
∑
(2)
: 2 [0,1]
J
ψ
→
2
J
{1,...,
}
J
H
=
( ) 0,
( ) 1
J
ψ
ψ
∅ =
=
,
:
( )
( )
D B J D B D B
ψ
ψ
∀ ⊆ ⊆ ⇒ ≤