А.В. Неклюдов
16
2
2
1
1
(2)
6
n
n
.
Множество других способов вычисления
(2)
разной степени
громоздкости приведено в работе [9].
Остановимся на доказательстве, в котором используется разло-
жение синуса в бесконечное произведение, и тот же способ, получим
суммы других, в том числе двойных и тройных, рядов Дирихле. Эй-
леровское разложение синуса имеет вид [1]
2
2
2
2
2 2
2
2
2
1
sin
1
1
1
1
4
9
n
x
x
x
x
x x
x
n
(14)
Разложим в ряд по степеням
x
обе части (14), раскрывая при этом
скобки в бесконечном произведении:
3
5
2
2
2
2
2
2
1
6 120
4 9
x x
x x x
x
x
.
Приравняем коэффициенты при третьих степенях
x
:
2
1 1 1 1 1
6
4 9
,
т. е.
2
1 1
(2) 1
4 9
6
.
Приравняем коэффициенты при пятых степенях в (14). Получим
равенство
4
2 2
,
1
1 1
1 .
120
m n
m n
m n
Таким образом, найдена сумма двой-
ного ряда
4
2 2
,
1
1
.
120
m n
m n
m n
Отсюда можно найти значение
(4):
2
4
4
4
4
2
2 2
1
1
,
1
1
1
1
(4)
2
.
36 60 90
n
n
m n
m n
n
n
m n
Приравняв коэффициенты при седьмой степени
x
в (14), получим
6
6
2 2 2
2 2 2
1
1
1 1
1
1
.
7!
7!
m n k
m n k
m n k
m n k
(15)
