П.В. Слипенчук
6
ложение автор считает разумным, тем не менее формально оно явля-
ется условием леммы.
Предположим также, что
.
C
S
Y y Y y
Смысл этого предполо-
жения в следующем: мы считаем, что Алиса и Боб хорошо изучили
пользователей канала Алену и Бориса. По этой причине «они не вы-
деляются из толпы» и используют в качестве информационной мат-
рицы (из которой они делают контейнер для вкрапления скрытых со-
общений) такие же информационные матрицы, что и Алена с Бори-
сом. Как и первое условие леммы, данное предположение будем
считать очевидным допущением.
Лемма.
Предположим, что пустые контейнеры в канале С все-
гда декодируются верно и
C
S
Y y Y y
. Тогда любая идеальная
стегосистема является совершенной.
◄
Доказательство.
Распределения
1
R
и
2
R
переобозначим как
С
R
и
S
R
соответственно.
Для доказательства того, что идеальная стегосистема является
совершенной, нам необходимо проверить справедливость форму-
лы (2).
Найдем вероятность появления некоторого
пустого контейнера
C
x
и некоторого
стегоконтейнера
.
S C
x x
Множество всех пустых
и стегоконтейнеров обозначим
,
X
а векторы ошибок, произошедших
в каналах с шумом
S
и
C
, на выходе которых получили
кодовые мат-
рицы
S
x
и
C
x
(см. [2]), — соответственно и .
S
C
e e
Так как
S C
x x
и по условию леммы кодовая матрица декодируется верно в инфор-
мационную матрицу, то равенство
S C
e e
справедливо.
Обозначим
Z
E e
вероятность появления ошибки
e
в канале
Z
.
Так как система по определению идеальная, то
.
С S
R R
Из этого
следует, что
C
S
E e E e
.
(5)
Так как
S C
e e
и
,
S C
x x
то
.
S C
y y
Найдем вероятность появления контейнера
:
x
X
;
С
C C C C C C
x
P x E e Y y
X
(6)
.
S
S S
C S C S
x
P x E e Y y
X
(7)
Из условий леммы и формул (5)–(7) для каждой пары
S C
x x
следует, что
