2
А.А. Гурченков
1. Гидродинамическая задача.
Рассмотрим движение жидкости,
занимающей бесконечную область
D
, ограниченную поверхностью
тела
S
. Будем считать движение тела заданным. Линеаризованные урав-
нения Навье – Стокса, описывающие движение жидкости, а также гра-
ничные и начальные условия запишем в системе координат
O
1
x
1
x
2
x
3
,
жестко связанной с телом:
(2)
где
V
– скорость жидкости;
p′
– давление в ней;
ρ
– плотность жидко-
сти;
U
– потенциал массовых сил;
r
– радиус-вектор, отсчитанный от
полюса
O
1
сопутствующей системы координат
O
1
x
1
x
2
x
3
.
Начальное распределение скоростей должно быть подчинено сле-
дующим условиям:
Решение задачи (2) при условии (1) находим методом пограничного
слоя [1]:
0 1 2
2
0 1 2 1
2
,
...;
,
...
V w
v
v
p q s q q v q vq
= υ + υ = υ + υ + υ + = + = + + +
Здесь
w
,
s
– функции типа пограничного слоя, которые также могут
быть разложены в ряды по возрастающим степеням
v
1/2
. Не останавли-
ваясь на общей схеме рекуррентного процесса построения решения,
отметим, что
k
-е приближение асимптотического метода позволяет
определять поле скоростей жидкости с погрешностью
v
(
k
+ 1)/2
.
В качестве нулевого приближения возьмем функции, удовлетворя-
ющие уравнениям движения идеальной жидкости и соответствующим
граничным условиям:
(3)
где
n
– нормаль к поверхности
S
, внешняя по отношению к области
D
.
Движение идеальной жидкости, описываемое уравнениями (3), об-
ладает потенциалом скоростей
ϕ
0
, так что υ =
∇
φ
0
. При этом
3
0
1
,
i
i
i
i
i
u
=
ϕ = Φ + θ Ψ
∑
(4)
