Рис. 1. Салфетка Серпиньского
оставшимся треугольникам; затем — к девяти оставшимся и т.д. На
S
рассмотрим меру Хаусдорфа
χ
α
размерности
α
= ln 3
/
ln 2
,
т.е.
χ
α
(
A
)
= lim
δ
→
0
N
(
δ
)
δ
α
,
где
N
(
δ
)
—
число кругов радиуса
δ
,
покрыва-
ющих множество
A
.
Тогда
0
< χ
α
(
S
)
<
+
∞
.
Незамыкаемость градиентной формы Дирихле, соответствующей мере
χ
α
на
S
,
можно доказать, построив последовательность функций
f
n
(
x, y
)
=
f
n
(
y
)
со свойствами:
f
n
(
k
∙
2
−
n
)
= 0
;
f
0
(
y
)
= 1
на
U
n
:
=
[
k
{
k
∙
2
−
n
< y <
(
k
+ 1)2
−
n
−
2
−
2
n
}
;
Z
S
\
U
n
(
f
0
)
2
dχ
α
−→
n
→∞
0
(
добиться последнего можно, делая
|
f
0
(
y
)
|
меньше в более широ-
ких „слоях”
S
и больше — в узких). Тогда в
L
2
(
S, χ
α
)
f
n
→
0
,
но
r
f
n
→
(0; 1)
.
Долгое время оставалась открытой также проблема, поставленная
М. Р¨екнером [2]:
существует ли мера
μ
нa плоскости
R
2
=
{
(
x, y
)
}
,
тaкая, что формa (3) зaмыкaемa, a формa
E
x
(
f
)
=
Z
∂f
∂x
2
dμ
(5)
не зaмыкaемa?
Положительное решение этой проблемы приведено в
п. 4.
4.
Продолжения соболевских функций.
Пусть
μ
—
неотрицатель-
ная мера на пространстве
R
n
,
и пусть
p
>
1
.
Напомним, что собо-
левский класс 1 порядка по мере
μ
определяется как пополнение про-
странства
C
∞
0
(
R
n
)
по норме
k
f
k
1
,
p
=
Z
|
f
|
p
+
|r
f
|
p
dμ
1
/
p
.
Обозначим через
λ
n
меру Лебега на
R
n
.
В случае, когда мера
μ
являет-
ся сужением меры Лебега на множество
U
R
n
,
используется также
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012
31