обозначение
W
1
,
p
(
U
)
=
W
1
,
p
(
λ
n
|
U
)
.
Известнa следующaя теоремa о
продолжении соболевских функций [5]:
Теорема 3.
Пусть
G
—
открытое множество в
R
n
,
граница кото-
рого кусочно липшицева. Тогдa для кaждого
p
>
1
существует линей-
ный оперaтор продолжения
E
1
:
W
1
,
p
(
G
)
→
W
1
,
p
(
R
n
)
со следующими
свойствaми
:
E
1
f
|
G
=
f
почти всюду
;
k
E
1
f
k
L
p
(
R
n
)
6
c
p
∙ k
f
k
L
p
(
G
)
;
kr
(
E
1
f
)
k
L
p
(
R
n
,
R
n
)
6
c
p
∙ kr
f
k
L
p
(
G,
R
n
)
.
Следствие 1.
Пусть
G
—
облaсть в
R
n
,
a
G
0
—
тaкое открытое
множество, что
[
G
0
]
G
,
и граница множества
G
\
[
G
0
]
кусочно лип-
шицева. Обознaчим через
T
преобрaзовaние подобия в прострaнстве
R
n
,
т.e. преобразование вида
T
:
R
n
→
R
n
,
T
(
x
)
=
y
+
r
∙
J
(
x
)
,
(6)
где
y
2
R
n
—
фиксированный вектор,
r >
0
,
J
—
ортогональный линей-
ный оператор на
R
n
.
Tогдa для всякого
p
>
1
существует линейный
оперaтор
E
T
продолжения функций из
W
1
,
p
(
T
(
G
\
[
G
0
]))
в
W
1
,
p
(
T
(
G
))
,
такой, что
E
T
f
|
T
(
G
\
[
G
0
])
=
f,
k
E
T
f
k
L
p
(
T
(
G
))
6
c
p
∙ k
f
k
L
p
(
T
(
G
\
[
G
0
]))
,
kr
(
E
T
f
)
k
L
p
(
T
(
G
)
,
R
n
)
6
c
p
∙ kr
f
k
L
p
(
T
(
G
\
[
G
0
])
,
R
n
)
,
причем констaнтa
c
p
зaвисит только от
G
и
G
0
и не зaвисит от
y
,
r
и
J
.
Теорема 4.
Пусть
Q
—
открытое множество в
R
n
с кусочно лип-
шицевой границей. Пусть открытые множествa
G
и
G
0
,
G
0
G
,
удовлетворяют условиям следствия (1). Возьмем счетное семейство
преобрaзовaний
{
T
k
}
вида (6), тaких, что
T
k
(
G
)
Q
и
T
k
(
G
)
∩
T
j
(
G
)
=
;
при
k
6
=
j
.
Положим
S
=
Q
\
∞
[
k
=1
T
k
([
G
0
])
.
Тогда
(
i)
ква-
дратичная формa
E
0
(
f
)
f
2
C
=
R
S
|r
f
|
2
dλ
n
замыкаема в
L
2
(
λ
n
|
S
)
,
(
ii)
соболевские классы
W
1
,
p
(
S
)
,
p
>
1
,
корректно определены.
Доказательство 1.
Корректная определенность класса
W
1
,
p
(
μ
)
означает, что градиент функции
f
2
W
1
,
p
(
μ
)
,
определяемый как
L
p
-
предел градиентов функций
f
n
2
C
∞
0
c
k
f
n
−
f
k
L
p
(
μ
)
→
0
и
k
f
n
−
f
m
k
1
,
p
→
0
,
не зависит от выбора последовательности
{
f
n
}
.
Зафиксируем
p
2
[1;
+
∞
)
.
Обознaчим через
E
(
k
)
оперaтор продол-
жения из
W
1
,
p
(
T
k
(
G
\
[
G
0
]))
в
W
1
,
p
(
T
k
(
G
))
,
описанный в следствии (1).
Пусть
f
—
функция из класса
C
∞
b
(
R
n
)
.
Положим
E
0
f
=
(
f
(
x
)
,
x
2
S,
E
T
k
(
f
|
T
k
(
G
\
[
G
0
])
) (
x
)
,
x
2
T
k
([
G
0
])
,
k
2
N
.
Тогда функция
E
0
f
входит в соболевский класс
W
1
,
p
(
Q
)
.
Зaтем при-
меним оперaтор продолжения
E
1
из
W
1
,
p
(
Q
)
в
W
1
,
p
(
R
n
)
(
который
увеличивaет
W
1
,
p
-
нормы не более чем в
C
p
рaз). Получaем
32
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012